Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (se aproxima de um número específico) ou diverge (vai para o infinito ou não se estabiliza). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o expoente da base 3 no denominador. Temos
. Vamos calcular isso:
Então, o denominador fica
.
Passo 3
Agora, nossa sequência fica:
Queremos encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
No numerador,
, à medida que
cresce, o termo dominante é
, então o numerador se comporta como
.
No denominador,
, sabemos que qualquer número positivo elevado a
tende a 1 quando
vai para o infinito. Portanto,
.
Passo 5
Com isso, podemos dizer que:
Passo 6
O limite de
quando
tende ao infinito é, obviamente, infinito. Ou seja, a sequência não está se aproximando de nenhum número específico; ao invés disso, está crescendo sem limites.
Resposta
A sequência diverge para o infinito.