Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
a_n = (3n - 4) / (3^((n + 1)/n - 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (se aproxima de um número específico) ou diverge (vai para o infinito ou não se estabiliza). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o expoente da base 3 no denominador. Temos . Vamos calcular isso:
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, nossa sequência fica:
Queremos encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

No numerador, , à medida que cresce, o termo dominante é , então o numerador se comporta como .
No denominador, , sabemos que qualquer número positivo elevado a tende a 1 quando vai para o infinito. Portanto, .

Passo 5

Com isso, podemos dizer que:

Passo 6

O limite de quando tende ao infinito é, obviamente, infinito. Ou seja, a sequência não está se aproximando de nenhum número específico; ao invés disso, está crescendo sem limites.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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