Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar as regiões no plano
onde as condições do teorema de existência e unicidade para soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem são satisfeitas. Basicamente, isso significa que queremos saber em quais partes do gráfico
versus
podemos garantir que existe uma única solução para a EDO dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o teorema de existência e unicidade, também conhecido como teorema de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que, para uma EDO da forma:
com condição inicial
, existe uma solução única na vizinhança de
se duas condições forem satisfeitas:
- Continuidade de
: A função precisa ser contínua na região considerada. - Condição de Lipschitz em
: A função deve satisfazer uma condição de Lipschitz em relação a , o que basicamente garante que a função não muda muito rapidamente quando varia.
Passo 3
Para determinar as regiões onde essas condições são atendidas, precisamos analisar a função
e verificar onde ela é contínua e onde sua derivada parcial em relação a
,
, também é contínua. A continuidade de
geralmente nos ajuda a garantir a condição de Lipschitz.
Portanto, a área no plano
onde ambas as condições são verdadeiras é onde podemos assegurar, pelo teorema, que existe uma única solução para a EDO.
Passo 4
Como o enunciado não especifica uma função
particular, vamos considerar que
é contínua e que sua derivada parcial em relação a
também é contínua em todo o plano
. Nesse caso, as hipóteses do teorema são satisfeitas em todas as regiões onde essas condições são verdadeiras.
Resposta
As hipóteses do teorema de existência e unicidade para EDOs de primeira ordem são satisfeitas em todas as regiões do plano
onde a função
e sua derivada parcial
são contínuas. Assim, a solução única existe em qualquer região onde essas condições de continuidade são atendidas.