Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
© R: x = 4y^2 - y^3, x = 0;
E: eixo x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido formado pela rotação de uma região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região que estamos girando. A curva é uma função que relaciona e , e é simplesmente o eixo .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites de integração. Igualando :
Isso nos dá e .

Passo 4

Com os limites de a , vamos usar o método dos discos para encontrar o volume. A fórmula para o volume é:
onde é a função que define a distância do eixo de rotação.

Passo 5

Aqui, . Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Calculando cada parte:

Passo 9

Somando todos os resultados:

Passo 10

Multiplicando pelo :
ú

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região em torno do eixo é aproximadamente unidades cúbicas.

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