Vamos resolver um exercício de Cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido formado pela rotação de uma região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região que estamos girando. A curva é uma função que relaciona e , e é simplesmente o eixo .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites de integração. Igualando :
Isso nos dá e .
Passo 4
Com os limites de a , vamos usar o método dos discos para encontrar o volume. A fórmula para o volume é:
onde é a função que define a distância do eixo de rotação.
Passo 5
Aqui, . Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Calculando cada parte:
Passo 9
Somando todos os resultados:
Passo 10
Multiplicando pelo :
ú
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região em torno do eixo é aproximadamente unidades cúbicas.