Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(e) R: x = y^2, x = 0, y = 3;
E: eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma região R delimitada pelas curvas , x = 0 e . Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos essa região em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região R. A curva é uma parábola que se abre para a direita. A reta x = 0 é o próprio eixo y, e a reta é uma linha horizontal que corta a parábola. Então, nossa região R está entre a parábola, o eixo y e até .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo y, é conveniente usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar fatiar o sólido em discos finos perpendiculares ao eixo de rotação e calcular a área de cada disco.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, f(y) representa a função que define a distância do eixo de rotação até a curva.

Passo 5

No nosso caso, f(y) é a função que dá o raio de cada disco. Como estamos girando em torno do eixo y, o raio é a distância horizontal de cada ponto na curva até o eixo y, que é simplesmente y^2.

Passo 6

Agora, identificamos os limites de integração. Como y vai de 0 até , nossos limites são de até .

Passo 7

Substituindo na fórmula, temos:
Isso simplifica para:

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a y:
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um volume definido.

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a :

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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