Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(e)
;
eixo
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma região
delimitada pelas curvas
,
e
. Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos essa região em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região
. A curva
é uma parábola que se abre para a direita. A reta
é o próprio eixo
, e a reta
é uma linha horizontal que corta a parábola. Então, nossa região
está entre a parábola, o eixo
e até
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
, é conveniente usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar fatiar o sólido em discos finos perpendiculares ao eixo de rotação e calcular a área de cada disco.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
representa a função que define a distância do eixo de rotação até a curva.
Passo 5
No nosso caso,
é a função que dá o raio de cada disco. Como estamos girando em torno do eixo
, o raio é a distância horizontal de cada ponto na curva
até o eixo
, que é simplesmente
.
Passo 6
Agora, identificamos os limites de integração. Como
vai de
até
, nossos limites são de
até
.
Passo 7
Substituindo na fórmula, temos:
Isso simplifica para:
Passo 8
Vamos agora integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um volume definido.
Passo 9
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.