Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(g) ; : eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta da rotação da região em torno do eixo . A região é limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) do cálculo integral. Vamos precisar entender como as funções se comportam e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram. Isso nos dará os limites de integração. Precisamos resolver a equação .
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, ou .
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra no intervalo de a . Vamos testar um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como para , a curva está acima da curva nesse intervalo.
Passo 4
Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente usar o método dos cilindros. Esse método envolve integrar ao longo do eixo , mas como nossas funções estão em termos de , precisamos expressar em função de .
A partir das equações dadas:
Passo 5
O volume pelo método dos cilindros é dado por:
onde:
é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ),
é a altura da casca cilíndrica,
e são os limites de .
No nosso caso:
A distância varia de a ,
A altura é constante para cada ,
Os limites de vão de a .
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Aqui, é a distância ao eixo , e representa a diferença entre as funções e , que dá a largura da casca cilíndrica.
Passo 7
Vamos simplificar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Calculando em :
Calculando em :
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.