Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(g) R: y = x, y = raiz(x);
E : eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que resulta da rotação da região em torno do eixo . A região é limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) do cálculo integral. Vamos precisar entender como as funções se comportam e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram. Isso nos dará os limites de integração. Precisamos resolver a equação .
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então, ou .
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra no intervalo de a . Vamos testar um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como para , a curva está acima da curva nesse intervalo.

Passo 4

Como vamos girar em torno do eixo , é mais conveniente usar o método dos cilindros. Esse método envolve integrar ao longo do eixo , mas como nossas funções estão em termos de , precisamos expressar em função de .
A partir das equações dadas:

Passo 5

O volume pelo método dos cilindros é dado por:
onde:
  • é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ),
  • é a altura da casca cilíndrica,
  • e são os limites de .
No nosso caso:
  • A distância varia de a ,
  • A altura é constante para cada ,
  • Os limites de vão de a .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Aqui, é a distância ao eixo , e representa a diferença entre as funções e , que dá a largura da casca cilíndrica.

Passo 7

Vamos simplificar a integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Calculando em :
Calculando em :

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

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