Encontre o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado.
g(x) = raiz cúbica(x^2), [-3, 3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função no intervalo de a . Isso envolve um pouquinho de cálculo, especificamente sobre como identificar esses valores máximos e mínimos em uma função dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo dado, e o valor mínimo absoluto é o menor valor que ela atinge nesse mesmo intervalo.

Passo 3

Para encontrar esses valores, precisamos identificar os pontos onde a função pode alcançar esses extremos. Isso geralmente acontece nos pontos críticos da função ou nas bordas do intervalo.

Passo 4

Vamos começar encontrando os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos derivar .
A função é .
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde ou onde ela não existe.
Essa equação nunca é igual a zero, porque e nunca são ambos zero. Portanto, não há pontos onde a derivada é zero.
No entanto, a derivada não existe quando , já que a raiz cúbica de zero é zero e estamos dividindo por isso. Então, é um ponto crítico.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Os pontos que precisamos considerar são:
  • (extremidade esquerda)
  • (ponto crítico)
  • (extremidade direita)

Passo 7

Vamos calcular para cada um desses valores:
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, comparamos esses valores:
O maior valor é aproximadamente e o menor valor é .

Resposta

O valor máximo absoluto da função no intervalo é aproximadamente e o valor mínimo absoluto é .

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