Encontre o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função
no intervalo de
a
. Isso envolve um pouquinho de cálculo, especificamente sobre como identificar esses valores máximos e mínimos em uma função dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo dado, e o valor mínimo absoluto é o menor valor que ela atinge nesse mesmo intervalo.
Passo 3
Para encontrar esses valores, precisamos identificar os pontos onde a função pode alcançar esses extremos. Isso geralmente acontece nos pontos críticos da função ou nas bordas do intervalo.
Passo 4
Vamos começar encontrando os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Então, vamos derivar
.
A função é
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar onde
ou onde ela não existe.
Essa equação nunca é igual a zero, porque
e
nunca são ambos zero. Portanto, não há pontos onde a derivada é zero.
No entanto, a derivada não existe quando
, já que a raiz cúbica de zero é zero e estamos dividindo por isso. Então,
é um ponto crítico.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Os pontos que precisamos considerar são:
-
(extremidade esquerda) -
(ponto crítico) -
(extremidade direita)
Passo 7
Vamos calcular
para cada um desses valores:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, comparamos esses valores:
O maior valor é aproximadamente
e o menor valor é
.
Resposta
O valor máximo absoluto da função
no intervalo
é aproximadamente
e o valor mínimo absoluto é
.