Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar:
- Intervalos de crescimento e decrescimento
- Máximos e mínimos locais
- Intervalos de concavidade para cima e para baixo
- Esboçar o gráfico da função
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a analisar o comportamento da função.
Passo 2
Começamos calculando a primeira derivada de
para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. A primeira derivada de
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a primeira derivada a zero:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos
e
:
- Para
, testamos :
- Para
, testamos :
- Para
, testamos :
Passo 5
Com base nisso, concluímos que:
- A função é crescente nos intervalos
e - A função é decrescente no intervalo
Passo 6
Para determinar os máximos e mínimos locais, observamos os pontos críticos onde a derivada se anula:
- Em
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local - Em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local
Calculamos os valores da função nesses pontos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
para analisar a concavidade da função:
Passo 8
Analisamos o sinal de
:
- Para
, ( f’’(x) = \frac{4}{x^3} > 0 \Rightarrow Concavidade para cima - Para
, ( f’’(x) = \frac{4}{x^3} < 0 \Rightarrow Concavidade para baixo
Portanto:
- A função é côncava para cima no intervalo
- A função é côncava para baixo no intervalo
Resposta
- Intervalos de Crescimento:
e - Intervalos de Decrescimento:
- Máximo Local:
- Mínimo Local:
- Concavidade para Cima:
- Concavidade para Baixo:
- Esboço do Gráfico: [Descrição visual com os pontos e comportamentos mencionados]