Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x) = x + 2/x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar:
  • Intervalos de crescimento e decrescimento
  • Máximos e mínimos locais
  • Intervalos de concavidade para cima e para baixo
  • Esboçar o gráfico da função
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a analisar o comportamento da função.

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada de para encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. A primeira derivada de é:

Passo 3

Para encontrar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a primeira derivada a zero:

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos críticos e :
  • Para , testamos :
  • Para , testamos :
  • Para , testamos :

Passo 5

Com base nisso, concluímos que:
  • A função é crescente nos intervalos e
  • A função é decrescente no intervalo

Passo 6

Para determinar os máximos e mínimos locais, observamos os pontos críticos onde a derivada se anula:
  • Em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local
  • Em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local
Calculamos os valores da função nesses pontos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda derivada de para analisar a concavidade da função:

Passo 8

Analisamos o sinal de :
  • Para , ( f’’(x) = \frac{4}{x^3} > 0 \Rightarrow Concavidade para cima
  • Para , ( f’’(x) = \frac{4}{x^3} < 0 \Rightarrow Concavidade para baixo
Portanto:
  • A função é côncava para cima no intervalo
  • A função é côncava para baixo no intervalo

Resposta

  • Intervalos de Crescimento: e
  • Intervalos de Decrescimento:
  • Máximo Local:
  • Mínimo Local:
  • Concavidade para Cima:
  • Concavidade para Baixo:
  • Esboço do Gráfico: [Descrição visual com os pontos e comportamentos mencionados]

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