Resolva as equações diferenciais abaixo: (2xy + y^2) dx + (x^2 + xy) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente verificando se a equação é exata. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e como encontrar uma solução quando ela é.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é tentar fatores que dependem apenas de ou apenas de .
Vamos verificar se há um fator integrante que depende apenas de . Suponha que o fator seja . Multiplicamos a equação original por e exigimos que a nova equação seja exata.

Passo 4

Após multiplicar por , temos:
Para que isso seja exato, deve-se cumprir:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Cancelando termos iguais dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
O que simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para :
Rearranjando:
Integrando ambos os lados:
O que dá:
Exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante. Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 6

Agora que temos o fator integrante , multiplicamos a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, vamos verificar novamente se a equação é exata.

Passo 7

Calculando as derivadas parciais para a nova equação:
Derivadas:
Claramente, as derivadas ainda não são iguais, o que indica que precisamos ajustar nosso fator integrante ou tentar outro método.

Passo 8

Parece que houve uma complicação. Vamos tentar um método diferente: substituição. Observando a equação original:
Podemos tentar dividir ambos os lados por :
Agora, fazemos a substituição , o que implica e .

Passo 9

Substituindo na equação:
Explicando:
  • Substituímos e
  • Isso ajuda a simplificar a equação para termos em e

Passo 10

Expandindo os termos:
Simplificando:
O que resulta em:

Passo 11

Dividindo toda a equação por :
Isso separa as variáveis e , permitindo integrar ambos os lados.

Passo 12

Rearranjando para integrar:
Integrando ambos os lados:
Como o lado esquerdo depende de e o direito de , é necessário encontrar uma relação entre e .

Passo 13

Note que com a substituição , a equação se torna separável. Vamos assumir que , e assim, podemos relacionar as variáveis. Resolvendo as integrais:
A integral do lado direito pode ser resolvida por métodos de frações parciais.

Passo 14

Resolvendo as integrais:
Fatorando o denominador:
Encontrando e :
Resolvendo:
Igualando coeficientes:
Então:

Passo 15

Agora, integrando:
Multiplicando os termos:
Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma constante.

Passo 16

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:
Elevando ambos os lados à potência de 6 para eliminar os expoentes fracionários:
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por :
Renomeando a constante para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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