Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente verificando se a equação é exata. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e como encontrar uma solução quando ela é.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
No nosso caso:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é tentar fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos verificar se há um fator integrante que depende apenas de
. Suponha que o fator seja
. Multiplicamos a equação original por
e exigimos que a nova equação seja exata.
Passo 4
Após multiplicar por
, temos:
Para que isso seja exato, deve-se cumprir:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Cancelando termos iguais dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
O que simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Rearranjando:
Integrando ambos os lados:
O que dá:
Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 6
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, vamos verificar novamente se a equação é exata.
Passo 7
Calculando as derivadas parciais para a nova equação:
Derivadas:
Claramente, as derivadas ainda não são iguais, o que indica que precisamos ajustar nosso fator integrante ou tentar outro método.
Passo 8
Parece que houve uma complicação. Vamos tentar um método diferente: substituição. Observando a equação original:
Podemos tentar dividir ambos os lados por
:
Agora, fazemos a substituição
, o que implica
e
.
Passo 9
Substituindo na equação:
Explicando:
- Substituímos
e - Isso ajuda a simplificar a equação para termos em
e
Passo 10
Expandindo os termos:
Simplificando:
O que resulta em:
Passo 11
Dividindo toda a equação por
:
Isso separa as variáveis
e
, permitindo integrar ambos os lados.
Passo 12
Rearranjando para integrar:
Integrando ambos os lados:
Como o lado esquerdo depende de
e o direito de
, é necessário encontrar uma relação entre
e
.
Passo 13
Note que com a substituição
, a equação se torna separável. Vamos assumir que
, e assim, podemos relacionar as variáveis. Resolvendo as integrais:
A integral do lado direito pode ser resolvida por métodos de frações parciais.
Passo 14
Resolvendo as integrais:
Fatorando o denominador:
Encontrando
e
:
Resolvendo:
Igualando coeficientes:
Então:
Passo 15
Agora, integrando:
Multiplicando os termos:
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Onde
é uma constante.
Passo 16
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Elevando ambos os lados à potência de 6 para eliminar os expoentes fracionários:
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Renomeando a constante
para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.