Resolva as equações diferenciais abaixo: y'' - y' - 6y = 3e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , vamos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:

Passo 8

A solução particular é, portanto:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitárias.

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