(2,0 pontos) Determine os valores de b neq 0 e c que tornam f contínua em x=2.
f(x)=l x^2-3 x+2b(x^2-4), se x<2 4 x-55 x-1, se x>2 IC, se x=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar os valores de e que fazem a função ser contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita deve ser igual ao valor de . Vamos precisar calcular esses limites e igualá-los para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de limx to 2^- x^2 - 3x + 2b(x^2 - 4) quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 3

Para simplificar essa expressão, vamos fatorar o numerador e o denominador:
  • Numerador: (x - 1)(x - 2)b(x - 2)(x + 2)
  • Denominador: x - 1b(x + 2)
Substituindo na fração:
limx to 2^- 2 - 1b(2 + 2) = 14b
Agora, podemos cancelar o termo que aparece no numerador e no denominador (lembrando que ):
Agora, substituímos para encontrar o limite:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to 2^+ 4x - 55x - 1 quando 4(2) - 55(2) - 1 = 8 - 510 - 1 = 39 = 13 se aproxima de 2 pela direita ( ):
Substituindo :

Passo 5

Para a função ser contínua em 14b = 13 = c , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em 14b = 13 Rightarrow 4b = 3 Rightarrow b = 34 (que é ):
Primeiro, igualamos os limites para encontrar :
E já sabemos que .

Resposta

Os valores que tornam contínua em são e .

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