Em cada um dos itens, determine a equação e um esboço da hipérbole a partir dos elementos dados:
com assíntotas
e vértice
.
com assíntotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação e um esboço da hipérbole com base nas assíntotas
,
e o vértice
. Vamos precisar entender um pouco sobre hipérboles, assíntotas e como esses elementos se relacionam para montar a equação certa.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar as equações das assíntotas para a forma
, que facilita identificar o coeficiente angular (m) e o intercepto (b).
Para a primeira assíntota:
Para a segunda assíntota:
Passo 3
Observando as duas assíntotas, notamos que elas têm inclinações opostas: uma tem inclinação
e a outra
. Isso indica que a hipérbole está centrada em algum ponto que precisamos descobrir. Sabemos também que o vértice está em
.
Passo 4
Normalmente, o centro da hipérbole fica na interseção das assíntotas. Vamos encontrar esse ponto resolvendo o sistema das duas assíntotas:
Igualando as duas equações:
Substituindo
em uma das equações para encontrar
:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 5
A hipérbole tem a forma geral:
ou
onde
é o centro,
é a distância do centro ao vértice, e
está relacionado às assíntotas pela relação
, onde
é a inclinação das assíntotas.
Passo 6
Sabemos que o vértice
está a uma distância
do centro
ao longo do eixo vertical. Calculando
:
Agora, usando a inclinação das assíntotas
, temos:
Passo 7
Com todos os valores, podemos montar a equação da hipérbole. Como o vértice está no eixo vertical, a equação é:
Simplificando:
Resposta
A equação da hipérbole é:
E o esboço da hipérbole tem centro em
, vértice em
e assíntotas com inclinações
e
.