Em cada um dos itens, determine a equação e um esboço da hipérbole a partir dos elementos dados:
com assíntotas 4 x+y-11=0,4 x-y-13=0 e vértice V=(3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação e um esboço da hipérbole com base nas assíntotas , e o vértice . Vamos precisar entender um pouco sobre hipérboles, assíntotas e como esses elementos se relacionam para montar a equação certa.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar as equações das assíntotas para a forma 4x + y - 11 = 0 Rightarrow y = -4x + 11, que facilita identificar o coeficiente angular (m) e o intercepto (b).
Para a primeira assíntota:
4x - y -13 = 0 Rightarrow y = 4x -13
Para a segunda assíntota:

Passo 3

Observando as duas assíntotas, notamos que elas têm inclinações opostas: uma tem inclinação e a outra . Isso indica que a hipérbole está centrada em algum ponto que precisamos descobrir. Sabemos também que o vértice está em .

Passo 4

Normalmente, o centro da hipérbole fica na interseção das assíntotas. Vamos encontrar esse ponto resolvendo o sistema das duas assíntotas:
y = -4x + 11 y = 4x -13
Igualando as duas equações:
-4x + 11 = 4x -13
-8x = -24
x = 3
Substituindo y = 4(3) -13 = 12 -13 = -1 em uma das equações para encontrar :
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 5

A hipérbole tem a forma geral:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
ou
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
onde é o centro, é a distância do centro ao vértice, e está relacionado às assíntotas pela relação , onde é a inclinação das assíntotas.

Passo 6

Sabemos que o vértice a = |1 - (-1)| = 2 está a uma distância ba = 4 Rightarrow b2 = 4 Rightarrow b = 8 do centro ao longo do eixo vertical. Calculando :
Agora, usando a inclinação das assíntotas , temos:

Passo 7

Com todos os valores, podemos montar a equação da hipérbole. Como o vértice está no eixo vertical, a equação é:
(y - (-1))^22^2 - (x - 3)^28^2 = 1
Simplificando:
(y + 1)^24 - (x - 3)^264 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(y + 1)^24 - (x - 3)^264 = 1
E o esboço da hipérbole tem centro em , vértice em e assíntotas com inclinações e .

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