Suponha que é um conjunto linearmente independente. Verifique que o conjunto
é linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos três vetores , e em que são linearmente independentes. Nosso objetivo é mostrar que outro conjunto de vetores, formado por , e , também é linearmente independente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear. Vamos precisar montar uma equação onde uma combinação linear desses novos vetores seja igual ao vetor zero e mostrar que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição para a combinação linear ser igual ao vetor zero:
Aqui, , e são escalares que precisamos determinar. Expandindo a equação:
Agora, vamos agrupar os vetores semelhantes:
Passo 3
Como é um conjunto linearmente independente, a única maneira dessa combinação igualar o vetor zero é se cada coeficiente for zero. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos:
a + b = 0 Rightarrow b = -a
Substituindo b = -a na terceira equação:
- a + c = 0 Rightarrow c = a
E agora, substituindo c = a na primeira equação:
a + a = 0 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0
Então, se a = 0, então b = -a = 0 e c = a = 0.
Resposta
Os únicos valores possíveis são a = 0, b = 0 e c = 0. Portanto, o conjunto u+v, v+w, w+u é linearmente independente.