Suponha que u, v, w subset R^3 é um conjunto linearmente independente. Verifique que o conjunto
u+v, v+w, w+u
é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos três vetores u, v e w em R^3 que são linearmente independentes. Nosso objetivo é mostrar que outro conjunto de vetores, formado por u+v, v+w e w+u, também é linearmente independente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear. Vamos precisar montar uma equação onde uma combinação linear desses novos vetores seja igual ao vetor zero e mostrar que os coeficientes dessa combinação devem ser todos zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição para a combinação linear ser igual ao vetor zero:
a(u + v) + b(v + w) + c(w + u) = 0
Aqui, a, b e c são escalares que precisamos determinar. Expandindo a equação:
au + av + bv + bw + cw + cu = 0
Agora, vamos agrupar os vetores semelhantes:
(a + c)u + (a + b)v + (b + c)w = 0

Passo 3

Como u, v, w é um conjunto linearmente independente, a única maneira dessa combinação igualar o vetor zero é se cada coeficiente for zero. Ou seja:
a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos:
a + b = 0 Rightarrow b = -a
Substituindo b = -a na terceira equação:
- a + c = 0 Rightarrow c = a
E agora, substituindo c = a na primeira equação:
a + a = 0 Rightarrow 2a = 0 Rightarrow a = 0
Então, se a = 0, então b = -a = 0 e c = a = 0.

Resposta

Os únicos valores possíveis são a = 0, b = 0 e c = 0. Portanto, o conjunto u+v, v+w, w+u é linearmente independente.

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