Dada a parábola de equação
, determine:
as equações da diretriz e do eixo focal;
as equações da diretriz e do eixo focal;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma parábola:
. O que precisamos descobrir são a equação da diretriz e o eixo focal dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da equação da parábola e o processo de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação da parábola para deixá-la na forma padrão. A forma padrão de uma parábola vertical (abertura para cima ou para baixo) é
, onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
Passo 3
Vamos reescrever a equação
agrupando os termos de
:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para isolar o termo de
. Para completar o quadrado em
, pegamos metade do coeficiente de
, que é 3, e elevamos ao quadrado, ficando 9. Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 5
Vamos isolar o termo
:
Passo 6
Agora, colocamos a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 6:
Comparando com a forma padrão
, vemos que:
-
-
-
então
Passo 7
Sabendo que
é a distância do vértice ao foco e à diretriz, podemos determinar a diretriz. Como a parábola abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), a diretriz está abaixo do vértice.
A equação da diretriz é dada por:
Passo 8
O eixo focal é uma linha vertical que passa pelo foco da parábola. Como a parábola é vertical, o eixo focal é paralelo ao eixo
.
A equação do eixo focal é:
Resposta
A equação da diretriz é
e a equação do eixo focal é
.