Dada a parábola de equação x^2+6 x-6 y+12=0, determine:
as equações da diretriz e do eixo focal;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma parábola: . O que precisamos descobrir são a equação da diretriz e o eixo focal dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da equação da parábola e o processo de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da parábola para deixá-la na forma padrão. A forma padrão de uma parábola vertical (abertura para cima ou para baixo) é , onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 3

Vamos reescrever a equação x^2 + 6x = 6y - 12 agrupando os termos de :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para isolar o termo de x^2 + 6x + 9 - 9 = 6y - 12 . Para completar o quadrado em (x + 3)^2 - 9 = 6y - 12 , pegamos metade do coeficiente de , que é 3, e elevamos ao quadrado, ficando 9. Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:

Passo 5

Vamos isolar o termo (x + 3)^2 = 6y - 12 + 9 :
(x + 3)^2 = 6y - 3

Passo 6

Agora, colocamos a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 6:
(x + 3)^2 = 6(y - 12)
Comparando com a forma padrão , vemos que:
  • então

Passo 7

Sabendo que y = k - p é a distância do vértice ao foco e à diretriz, podemos determinar a diretriz. Como a parábola abre para cima (porque o coeficiente de y = 12 - 32 é positivo), a diretriz está abaixo do vértice.
A equação da diretriz é dada por:
y = -1

Passo 8

O eixo focal é uma linha vertical que passa pelo foco da parábola. Como a parábola é vertical, o eixo focal é paralelo ao eixo x = h .
A equação do eixo focal é:
x = -3

Resposta

A equação da diretriz é e a equação do eixo focal é .

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