Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente precisa encontrar um exemplo de uma transformação linear
que tenha um núcleo
igual ao conjunto de todos os pares
em
que satisfazem
, e uma imagem
igual ao conjunto de todos os pares
onde
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados ao núcleo e à imagem de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja,
.
A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor em
. Em outras palavras,
.
Passo 3
Queremos que o núcleo de
seja
. Isso significa que qualquer vetor nessa forma deve ser mapeado para zero. Vamos supor que
seja representado por uma matriz
:
Então, para
no núcleo, temos:
Isso nos dá o sistema:
Dado que
, substituindo na primeira equação:
Como isso precisa valer para todo
, temos que
. Vamos escolher
, então
.
Agora, para a imagem de
, queremos
. Isso significa que qualquer vetor resultante de
deve ter coordenadas iguais. Observando a matriz
, temos:
Para que
tenha
, devemos ter
. Vamos escolher
.
Resposta
Um exemplo de transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz:
Essa transformação tem núcleo
e imagem
.