Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que
N u c(T)=(x, y) in R^2 ; x-2 y=0 e Im(T)=(x, y) in R^2 ; x=y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente precisa encontrar um exemplo de uma transformação linear que tenha um núcleo igual ao conjunto de todos os pares em que satisfazem , e uma imagem igual ao conjunto de todos os pares onde . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados ao núcleo e à imagem de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, .
A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Em outras palavras, .

Passo 3

Queremos que o núcleo de A = a & b c & d seja A x y = a x + b y c x + d y = 0 0 . Isso significa que qualquer vetor nessa forma deve ser mapeado para zero. Vamos supor que a x + b y = 0 c x + d y = 0 seja representado por uma matriz a(2y) + b y = 0 Rightarrow (2a + b) y = 0 :
a & b c & d = 1 & -2 c & d
Então, para no núcleo, temos:
Isso nos dá o sistema:
Dado que , substituindo na primeira equação:
Como isso precisa valer para todo , temos que . Vamos escolher , então .
Agora, para a imagem de , queremos . Isso significa que qualquer vetor resultante de deve ter coordenadas iguais. Observando a matriz , temos:
Para que tenha , devemos ter . Vamos escolher .

Resposta

Um exemplo de transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz:
T = 1 & -2 1 & 1
Essa transformação tem núcleo e imagem .

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