Determine a equação vetorial da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices e e é paralela à reta suporte do lado AC .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo baricentro de um triângulo com os vértices dados e que seja paralela à reta que forma o lado AC do triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de baricentro e equações de retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o baricentro do triângulo. O baricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo e pode ser calculado fazendo a média das coordenadas dos vértices. Então, temos:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos identificar a direção da reta AC. Para isso, calculamos o vetor diretor da reta AC, que é dado pela diferença entre as coordenadas de C e A:
Esse vetor nos dá a direção da reta que precisamos que nossa nova reta tenha.
Passo 4
Com o ponto pelo qual a reta passa, que é o baricentro , e o vetor diretor , podemos escrever a equação vetorial da reta procurada. A equação vetorial de uma reta no espaço é dada por:
Onde:
é um ponto geral na reta,
é o ponto pelo qual a reta passa,
é o vetor diretor da reta,
é um parâmetro real.
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de .