Determine a equação vetorial da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(3,4,-1), B(1,1,0) e C(2,4,3) e é paralela à reta suporte do lado AC .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo baricentro de um triângulo com os vértices dados e que seja paralela à reta que forma o lado AC do triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de baricentro e equações de retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o baricentro do triângulo. O baricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo e pode ser calculado fazendo a média das coordenadas dos vértices. Então, temos:
G( xA + xB + xC3, yA + yB + yC3, zA + zB + zC3 )
Substituindo os valores:
G( 3 + 1 + 23, 4 + 1 + 43, -1 + 0 + 33 ) = G( 63, 93, 23 ) = G(2, 3, 23)

Passo 3

Agora, vamos identificar a direção da reta AC. Para isso, calculamos o vetor diretor da reta AC, que é dado pela diferença entre as coordenadas de C e A:
AC = (xC - xA, yC - yA, zC - zA) = (2 - 3, 4 - 4, 3 - (-1)) = (-1, 0, 4)
Esse vetor nos dá a direção da reta que precisamos que nossa nova reta tenha.

Passo 4

Com o ponto pelo qual a reta passa, que é o baricentro r = r0 + td , e o vetor diretor , podemos escrever a equação vetorial da reta procurada. A equação vetorial de uma reta no espaço é dada por:
Onde:
  • é um ponto geral na reta,
  • é o ponto pelo qual a reta passa,
  • é o vetor diretor da reta,
  • é um parâmetro real.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
r = 2 3 23 + t -1 0 4
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de .

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = 2 3 23 + t -1 0 4 , t in R

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