Em cada um dos itens a seguir ache a matriz A=(ai j) de ordem 4 times 4 que satisfaz a condição dada:
(e) ai j= 1 & se |i-j| <= 1 0 & se |i-j|>1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa construir uma matriz A de ordem 4 times 4 onde cada elemento aij segue uma condição específica. O conteúdo que vamos usar envolve matrizes e condições para os elementos delas. O que precisamos aqui é entender como preencher cada posição da matriz com base na regra dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição:
aij = 1 & se |i - j| <= 1 0 & se |i - j| > 1
Isso significa que para cada posição (i, j) na matriz:
  • Se a diferença absoluta entre a linha i e a coluna j for no máximo 1, colocamos 1.
  • Se for maior que 1, colocamos 0.

Passo 3

Vamos montar a matriz passo a passo. Nossa matriz A tem 4 linhas e 4 colunas. Vamos analisar cada posição:
  1. Linha 1 ( i=1):
    • j=1: |1-1| = 0 <= 1 a11 = 1
    • j=2: |1-2| = 1 <= 1 a12 = 1
    • j=3: |1-3| = 2 > 1 a13 = 0
    • j=4: |1-4| = 3 > 1 a14 = 0
  2. Linha 2 ( i=2):
    • j=1: |2-1| = 1 <= 1 a21 = 1
    • j=2: |2-2| = 0 <= 1 a22 = 1
    • j=3: |2-3| = 1 <= 1 a23 = 1
    • j=4: |2-4| = 2 > 1 a24 = 0
  3. Linha 3 ( i=3):
    • j=1: |3-1| = 2 > 1 a31 = 0
    • j=2: |3-2| = 1 <= 1 a32 = 1
    • j=3: |3-3| = 0 <= 1 a33 = 1
    • j=4: |3-4| = 1 <= 1 a34 = 1
  4. Linha 4 ( i=4):
    • j=1: |4-1| = 3 > 1 a41 = 0
    • j=2: |4-2| = 2 > 1 a42 = 0
    • j=3: |4-3| = 1 <= 1 a43 = 1
    • j=4: |4-4| = 0 <= 1 a44 = 1

Passo 4

Agora, juntando todos os elementos que calculamos, a matriz A fica assim:
A = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1

Resposta

A matriz A que satisfaz a condição dada é:
A = 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1

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