lim x 1(2 x-1x)^2 x1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Isso envolve cálculo de limites e propriedades de potências. Vamos precisar usar logaritmos para facilitar a resolução, já que temos uma potência com a base e o expoente dependendo de .

Passo 2

Primeiro, vamos notar que quando se aproxima de 1:
  • A base se aproxima de .
  • O expoente se aproxima de , que é uma divisão por zero, indicando que o expoente tende ao infinito.
Portanto, a expressão tem a forma , que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar logaritmos.

Passo 3

Vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx to 1 (2x -1x)^2x1 - x^2 :
ln L = limx to 1 2x1 - x^2 cdot ln(2x -1x)
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é calcular e depois encontrar exponenciando o resultado.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
2x -1x = 2 - 1x
Quando 2x -1x approx 2 - 1 = 1 se aproxima de 1, ln(2x -1x) = ln(1 + (2x -1) - xx) = ln(1 + x -1x) se aproxima de 1, então:
ln(2x -1x) approx x -1x
Mas para encontrar a relação exata, podemos escrever:
Para próximo de 1, é pequeno, então usamos a aproximação quando é pequeno:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de ln L approx limx to 1 2x1 - x^2 cdot x -1x = limx to 1 2(x -1)1 - x^2 :
1 - x^2 = (1 -x)(1 +x)
Simplificando o denominador:
ln L = limx to 1 2(x -1)(1 -x)(1 +x) = limx to 1 2-(1 +x) = 2-2 = -1
Então:

Passo 6

Agora que temos L = e^-1 = 1e , para encontrar basta exponenciar ambos os lados:

Resposta

O limite é .

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