Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Isso envolve cálculo de limites e propriedades de potências. Vamos precisar usar logaritmos para facilitar a resolução, já que temos uma potência com a base e o expoente dependendo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que quando
se aproxima de 1:
- A base
se aproxima de . - O expoente
se aproxima de , que é uma divisão por zero, indicando que o expoente tende ao infinito.
Portanto, a expressão tem a forma
, que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar logaritmos.
Passo 3
Vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, nosso objetivo é calcular
e depois encontrar
exponenciando o resultado.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 1, então:
Mas para encontrar a relação exata, podemos escrever:
Para
próximo de 1,
é pequeno, então usamos a aproximação
quando
é pequeno:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 6
Agora que temos
, para encontrar
basta exponenciar ambos os lados:
Resposta
O limite é
.