Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o tema de limites, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de certos pontos, especialmente onde o denominador pode se aproximar de zero, o que pode complicar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a tangente de
, que pode ser escrita como
. Então, o nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento das funções seno e cosseno quando
se aproxima de
:
Então, para
perto de
,
está próximo de 1 e
está próximo de 0, o que faz com que
tenda ao infinito. O mesmo vale para
, mas precisamos ver como exatamente essas funções se comportam.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja
, onde
é um pequeno número tendendo a zero. Assim:
E,
Passo 5
Agora, substituímos essas aproximações no limite original:
Resposta
O limite é igual a
.