lim x pi2 tg(x)tg(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o tema de limites, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de certos pontos, especialmente onde o denominador pode se aproximar de zero, o que pode complicar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que lim x pi2 sin(x)cos(x)sin(3x)cos(3x) = lim x pi2 sin(x) cdot cos(3x)sin(3x) cdot cos(x) é a tangente de , que pode ser escrita como . Então, o nosso limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das funções seno e cosseno quando se aproxima de :
Então, para perto de , está próximo de 1 e está próximo de 0, o que faz com que tenda ao infinito. O mesmo vale para , mas precisamos ver como exatamente essas funções se comportam.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar: seja tg(x) = tg(pi2 + h) = -cot(h) approx -1h , onde tg(3x) = tg(3pi2 + 3h) = -cot(3h) approx -13h é um pequeno número tendendo a zero. Assim:
E,

Passo 5

Agora, substituímos essas aproximações no limite original:
tg(x)tg(3x) approx -1h-13h = 1h13h = 3

Resposta

O limite é igual a .

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