Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a)
, sendo
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
no ponto 3, ou seja,
. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação e, possivelmente, técnicas de substituição para encontrar a expressão de
ou sua derivada diretamente a partir da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar
, mas para isso, precisamos entender como
está se comportando nessa equação. Vamos tentar derivar ambos os lados da equação em relação a
para relacionar as derivadas de
.
Passo 3
Aplicando a derivada em ambos os lados da equação:
Lembrando que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, sua derivada é
.
Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo:
Derivando o lado direito:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos:
Nosso objetivo é encontrar
. Para isso, precisamos encontrar valores de
que façam com que os argumentos das derivadas sejam iguais a 3.
Passo 6
Primeiro, encontramos
tal que:
Resolvendo:
Segundo, encontramos
tal que:
Resolvendo:
Passo 7
Agora, vamos substituir esses valores de
na equação derivada para encontrar
.
Primeiro, com
:
Resposta
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Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
b)
b)
Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas: