Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a) , sendo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de no ponto 3, ou seja, . Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação e, possivelmente, técnicas de substituição para encontrar a expressão de ou sua derivada diretamente a partir da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar , mas para isso, precisamos entender como está se comportando nessa equação. Vamos tentar derivar ambos os lados da equação em relação a para relacionar as derivadas de .

Passo 3

Aplicando a derivada em ambos os lados da equação:
Lembrando que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , sua derivada é .
Derivando o primeiro termo:
Derivando o segundo termo:
Derivando o lado direito:

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos:
Nosso objetivo é encontrar . Para isso, precisamos encontrar valores de que façam com que os argumentos das derivadas sejam iguais a 3.

Passo 6

Primeiro, encontramos tal que:
Resolvendo:
Segundo, encontramos tal que:
Resolvendo:

Passo 7

Agora, vamos substituir esses valores de na equação derivada para encontrar .
Primeiro, com :

Resposta

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas:
b)
Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas: