Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a) f'(3), sendo f(5 + 2 x) + f(2 x^2 + 1) = 4 x^2 + 4 x + 2;
b) f'(0), sendo f(sen(x) - raiz(3)/2) = f(3x - pi) + 3x - pi, x in [-pi/2, pi/2]
c) (g o f o h)'(2), sabendo que f(0)=1, h(2)=0, g'(1)=5, f'(0)=2, h'(2)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item a)! A questão pede para encontrar a derivada de no ponto 3, ou seja, . O enunciado nos dá uma equação envolvendo de duas formas diferentes: . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de uma constante é zero e que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia em cada termo. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , sua derivada é .
Para o primeiro termo :
  • A derivada interna é .
  • Então, a derivada é .
Para o segundo termo :
  • A derivada interna é .
  • Então, a derivada é .

Passo 4

A derivada do lado direito da equação é mais simples:

Passo 5

Agora, juntando tudo:

Passo 6

Precisamos encontrar . Vamos achar um valor de que faça uma das expressões dentro de igual a 3.
Vamos resolver :

Passo 7

Substituindo na equação derivada:

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

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