Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a)
, sendo
;
b)
, sendo
c)
, sabendo que
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a)! A questão pede para encontrar a derivada de
no ponto 3, ou seja,
. O enunciado nos dá uma equação envolvendo
de duas formas diferentes:
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de uma constante é zero e que a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia em cada termo. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, sua derivada é
.
Para o primeiro termo
:
- A derivada interna
é . - Então, a derivada é
.
Para o segundo termo
:
- A derivada interna
é . - Então, a derivada é
.
Passo 4
A derivada do lado direito da equação é mais simples:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Passo 6
Precisamos encontrar
. Vamos achar um valor de
que faça uma das expressões dentro de
igual a 3.
Vamos resolver
:
Passo 7
Substituindo
na equação derivada:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
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Calcule as seguintes derivadas:
Determine as derivadas das funções a seguir:
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Determine a derivada das seguintes funções: