Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver os cálculos das derivadas das funções listadas no exercício. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e suas combinações. Para resolver, vamos precisar usar regras como a regra da cadeia, regra do produto, regra do quociente e as derivadas básicas de funções como seno, cosseno, exponencial e logaritmo.

Passo 2

a)

Passo 1: Identificamos que temos uma função composta, onde a função externa é algo elevado ao quadrado e a interna é .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos e sua derivada .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 3

b)

Passo 1: Temos uma função exponencial composta, onde a base é e o expoente é .
Passo 2: A derivada de é .
Passo 3: Calculamos e .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 4

c)

Passo 1: Temos uma função do tipo , onde e .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos . A derivada de é .
Passo 4: Assim, .
Passo 5: Aplicamos a regra:

Passo 5

d)

Passo 1: A função é a soma de duas funções compostas: e .
Passo 2: A derivada da soma é a soma das derivadas. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro Termo:
  • Passo 2.1: Aplicamos a regra da cadeia.
  • Passo 2.2: Derivada de é , onde e .
  • Passo 2.3: Então, a derivada é .
Segundo Termo:
  • Passo 2.4: Novamente, usamos a regra da cadeia.
  • Passo 2.5: Derivada de é , onde e .
  • Passo 2.6: Então, a derivada é .
Passo 3: Somamos as derivadas:

Passo 6

e)

Passo 1: A função é a soma de e .
Primeiro Termo:
  • Passo 2.1: Usamos a regra da cadeia para .
  • Passo 2.2: Derivada é (usando identidade trigonométrica).
Segundo Termo:
  • Passo 2.3: Derivada de é .
Passo 3: Somamos as derivadas dos termos:

Passo 7

f)

Passo 1: Podemos reescrever a função como .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Identificamos e .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 8

g)

Passo 1: A função pode ser vista como onde .
Passo 2: Usamos a regra da cadeia e a regra da potência. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos:

Passo 9

h)

Passo 1: Temos um produto de duas funções: e .
Passo 2: Aplicamos a regra do produto: .
Passo 3: Calculamos as derivadas:
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 10

i)

Passo 1: A função é uma função composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 11

j)

Passo 1: A função é a soma de e .
Primeiro Termo:
  • Passo 2.1: Usamos a regra da cadeia para .
  • Passo 2.2: Derivada é .
Segundo Termo:
  • Passo 2.3: Aplicamos a regra da cadeia.
  • Passo 2.4: Derivada de é , onde e .
  • Passo 2.5: Então, a derivada é .
Passo 3: Somamos as derivadas:

Passo 12

k)

Passo 1: A função é uma fração onde o numerador é e o denominador é .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente: .
Passo 3: Identificamos e .
Passo 4: Calculamos as derivadas:
Passo 5: Aplicamos a regra:

Passo 13

l)

Passo 1: Temos uma fração onde o numerador é e o denominador é .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
    • Passo 3.1: Usamos a regra da cadeia.
    • Passo 3.2: Derivada é .
  • Denominador:
    • Passo 3.3: Usamos a regra da cadeia.
    • Passo 3.4: Derivada é .
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 5: Simplificando:

Passo 14

m)

Passo 1: A função é composta de múltiplas camadas: onde e .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia múltiplas vezes.
Passo 3: Derivamos cada camada:
  • Primeira Camada:
    • Derivada: .
  • Segunda Camada:
    • Derivada: .
  • Terceira Camada:
    • Derivada: .
Passo 4: Montamos a derivada completa:

Passo 15

n)

Passo 1: A função é uma fração com numerador e denominador .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
    • Passo 3.1: Usamos a regra da cadeia.
    • Passo 3.2: Derivada é .
  • Denominador:
    • Passo 3.3: Derivada é .
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:

Passo 16

o)

Passo 1: A função é uma função composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 17

p)

Passo 1: A função é composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 18

q)

Passo 1: A função é uma fração com numerador e denominador .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
    • Passo 3.1: Derivada de é .
    • Passo 3.2: Aqui, e .
    • Passo 3.3: Então, .
  • Denominador:
    • Passo 3.4: Derivada de é . Aqui, .
    • Passo 3.5: Então, .
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:

Passo 19

r)

Passo 1: A função é composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos e .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Resposta

Aqui estão as derivadas calculadas para cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)

Exercícios relacionados

Determine as derivadas das funções a seguir:
Dada encontre: (iii)
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a) , sendo ;
b) , sendo
c) , sabendo que
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :