Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver os cálculos das derivadas das funções listadas no exercício. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e suas combinações. Para resolver, vamos precisar usar regras como a regra da cadeia, regra do produto, regra do quociente e as derivadas básicas de funções como seno, cosseno, exponencial e logaritmo.
Passo 2
a)
Passo 1: Identificamos que temos uma função composta, onde a função externa é algo elevado ao quadrado e a interna é
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
e sua derivada
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 3
b)
Passo 1: Temos uma função exponencial composta, onde a base é
e o expoente é
.
Passo 2: A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
e
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 4
c)
Passo 1: Temos uma função do tipo
, onde
e
.
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
. A derivada de
é
.
Passo 4: Assim,
.
Passo 5: Aplicamos a regra:
Passo 5
d)
Passo 1: A função é a soma de duas funções compostas:
e
.
Passo 2: A derivada da soma é a soma das derivadas. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro Termo:
- Passo 2.1: Aplicamos a regra da cadeia.
- Passo 2.2: Derivada de
é , onde e . - Passo 2.3: Então, a derivada é
.
Segundo Termo:
- Passo 2.4: Novamente, usamos a regra da cadeia.
- Passo 2.5: Derivada de
é , onde e . - Passo 2.6: Então, a derivada é
.
Passo 3: Somamos as derivadas:
Passo 6
e)
Passo 1: A função é a soma de
e
.
Primeiro Termo:
- Passo 2.1: Usamos a regra da cadeia para
. - Passo 2.2: Derivada é
(usando identidade trigonométrica).
Segundo Termo:
- Passo 2.3: Derivada de
é .
Passo 3: Somamos as derivadas dos termos:
Passo 7
f)
Passo 1: Podemos reescrever a função como
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 3: Identificamos
e
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 8
g)
Passo 1: A função pode ser vista como
onde
.
Passo 2: Usamos a regra da cadeia e a regra da potência. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos:
Passo 9
h)
Passo 1: Temos um produto de duas funções:
e
.
Passo 2: Aplicamos a regra do produto:
.
Passo 3: Calculamos as derivadas:
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 10
i)
Passo 1: A função é uma função composta:
onde
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 11
j)
Passo 1: A função é a soma de
e
.
Primeiro Termo:
- Passo 2.1: Usamos a regra da cadeia para
. - Passo 2.2: Derivada é
.
Segundo Termo:
- Passo 2.3: Aplicamos a regra da cadeia.
- Passo 2.4: Derivada de
é , onde e . - Passo 2.5: Então, a derivada é
.
Passo 3: Somamos as derivadas:
Passo 12
k)
Passo 1: A função é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
.
Passo 3: Identificamos
e
.
Passo 4: Calculamos as derivadas:
Passo 5: Aplicamos a regra:
Passo 13
l)
Passo 1: Temos uma fração onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
-
Numerador:
- Passo 3.1: Usamos a regra da cadeia.
- Passo 3.2: Derivada é
.
-
Denominador:
- Passo 3.3: Usamos a regra da cadeia.
- Passo 3.4: Derivada é
.
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 5: Simplificando:
Passo 14
m)
Passo 1: A função é composta de múltiplas camadas:
onde
e
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia múltiplas vezes.
Passo 3: Derivamos cada camada:
-
Primeira Camada:
- Derivada:
.
- Derivada:
-
Segunda Camada:
- Derivada:
.
- Derivada:
-
Terceira Camada:
- Derivada:
.
- Derivada:
Passo 4: Montamos a derivada completa:
Passo 15
n)
Passo 1: A função é uma fração com numerador
e denominador
.
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
-
Numerador:
- Passo 3.1: Usamos a regra da cadeia.
- Passo 3.2: Derivada é
.
-
Denominador:
- Passo 3.3: Derivada é
.
- Passo 3.3: Derivada é
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 16
o)
Passo 1: A função é uma função composta:
onde
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 17
p)
Passo 1: A função é composta:
onde
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Passo 18
q)
Passo 1: A função é uma fração com numerador e denominador
.
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
-
Numerador:
- Passo 3.1: Derivada de é
. - Passo 3.2: Aqui,
e . - Passo 3.3: Então,
.
- Passo 3.1: Derivada de é
-
Denominador:
- Passo 3.4: Derivada de
é . Aqui, . - Passo 3.5: Então,
.
- Passo 3.4: Derivada de
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 19
r)
Passo 1: A função é composta:
onde
.
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Passo 3: Calculamos
e
.
Passo 4: Aplicamos a regra:
Resposta
Aqui estão as derivadas calculadas para cada função:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
Exercícios relacionados
Determine as derivadas das funções a seguir:
Dada
encontre: (iii)
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a) , sendo
;
b) , sendo
c) , sabendo que
a)
b)
c)
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
: