Calcule as seguintes derivadas:
& a) g(x)=(x^3+2 x)^2 b) f(x)=e^2 x-3 c) f(x)=22+ln (x^2) & d) g(x)=e^sen(x)+sen(e^x) e) f(x)=sen^2(x)+sen(2 x) f) f(x)=raiz[3](x^2+1)^2 & g) g(x)=cos ^2(1-x^2) h) f(x)=(3 x-x^-1) cos (2 x) i) f(x)=csc (5 x^2-x) & j) g(x)=tg^3(x)+tg(x^3) k) f(x)=-cotg^2(x)x l) f(x)=(x+tg(x))^20sec ^10(x) & m) g(x)=sen^7(cos (2 x+1)^10) n) f(x)=(x^2+4)^5 / 3x^3+ln (3 x+1) o) f(x)=tg(5 x^2-x) & p) g(x)=arccos (x^2) q) f(x)=arcsec(2 x+1)2^x r) f(x)=arctan (ln (3 x-4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver os cálculos das derivadas das funções listadas no exercício. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e suas combinações. Para resolver, vamos precisar usar regras como a regra da cadeia, regra do produto, regra do quociente e as derivadas básicas de funções como seno, cosseno, exponencial e logaritmo.

Passo 2

a) g'(x) = 2 cdot (x^3 + 2x)^1 cdot (3x^2 + 2) = 2(x^3 + 2x)(3x^2 + 2)

Passo 1: Identificamos que temos uma função composta, onde a função externa é algo elevado ao quadrado e a interna é .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos e sua derivada .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 3

b) f'(x) = e^2x - 3 cdot 2 = 2e^2x - 3

Passo 1: Temos uma função exponencial composta, onde a base é e o expoente é .
Passo 2: A derivada de é .
Passo 3: Calculamos e .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 4

c) f'(x) = -2 cdot 2x(2 + ln(x^2))^2 = -4x(2 + ln(x^2))^2

Passo 1: Temos uma função do tipo , onde e .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos . A derivada de é .
Passo 4: Assim, .
Passo 5: Aplicamos a regra:

Passo 5

d) g'(x) = e^sin(x) cdot cos(x) + cos(e^x) cdot e^x

Passo 1: A função é a soma de duas funções compostas: e .
Passo 2: A derivada da soma é a soma das derivadas. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro Termo:
  • Passo 2.1: Aplicamos a regra da cadeia.
  • Passo 2.2: Derivada de é , onde e .
  • Passo 2.3: Então, a derivada é .
Segundo Termo:
  • Passo 2.4: Novamente, usamos a regra da cadeia.
  • Passo 2.5: Derivada de é , onde e .
  • Passo 2.6: Então, a derivada é .
Passo 3: Somamos as derivadas:

Passo 6

e) f'(x) = sin(2x) + 2cos(2x)

Passo 1: A função é a soma de e .
Primeiro Termo:
  • Passo 2.1: Usamos a regra da cadeia para .
  • Passo 2.2: Derivada é (usando identidade trigonométrica).
Segundo Termo:
  • Passo 2.3: Derivada de é .
Passo 3: Somamos as derivadas dos termos:

Passo 7

f) f'(x) = 23 (x^2 + 1)^-1/3 cdot 2x = 4x3(x^2 + 1)^1/3

Passo 1: Podemos reescrever a função como .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Identificamos e .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 8

g) g'(x) = 2cos(1 - x^2) cdot (-sin(1 - x^2)) cdot (-2x) = 4x cos(1 - x^2) sin(1 - x^2)

Passo 1: A função pode ser vista como onde .
Passo 2: Usamos a regra da cadeia e a regra da potência. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos:

Passo 9

h) f'(x) = (3 + x^-2) cos(2x) + (3x - x^-1)(-2sin(2x))

Passo 1: Temos um produto de duas funções: f'(x) = (3 + 1x^2)cos(2x) - 2(3x - 1x)sin(2x) e .
Passo 2: Aplicamos a regra do produto: .
Passo 3: Calculamos as derivadas:
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 10

i) f'(x) = -csc(5x^2 - x) cot(5x^2 - x) cdot (10x - 1)

Passo 1: A função é uma função composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 11

j) g'(x) = 3tan^2(x)sec^2(x) + 3x^2sec^2(x^3)

Passo 1: A função é a soma de e .
Primeiro Termo:
  • Passo 2.1: Usamos a regra da cadeia para .
  • Passo 2.2: Derivada é .
Segundo Termo:
  • Passo 2.3: Aplicamos a regra da cadeia.
  • Passo 2.4: Derivada de é , onde e .
  • Passo 2.5: Então, a derivada é .
Passo 3: Somamos as derivadas:

Passo 12

k) f'(x) = 2cot(x)csc^2(x) cdot x - (-cot^2(x)) cdot 1x^2

Passo 1: A função é uma fração onde o numerador é f'(x) = 2xcot(x)csc^2(x) + cot^2(x)x^2 e o denominador é .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente: .
Passo 3: Identificamos e .
Passo 4: Calculamos as derivadas:
Passo 5: Aplicamos a regra:

Passo 13

l) f'(x) = (numerador)' cdot denominador - numerador cdot (denominador)'(denominador)^2

Passo 1: Temos uma fração onde o numerador é f'(x) = 20(x + tan(x))^19(1 + sec^2(x)) cdot sec^10(x) - (x + tan(x))^20 cdot 10sec^10(x)tan(x)sec^20(x) e o denominador é f'(x) = 20(x + tan(x))^19(1 + sec^2(x)) - 10(x + tan(x))^20tan(x)sec^10(x) .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
    • Passo 3.1: Usamos a regra da cadeia.
    • Passo 3.2: Derivada é .
  • Denominador:
    • Passo 3.3: Usamos a regra da cadeia.
    • Passo 3.4: Derivada é .
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 5: Simplificando:

Passo 14

m) g'(x) = 7sin^6(cos(2x + 1)^10) cdot cos(cos(2x + 1)^10) cdot 10cos^9(2x + 1) cdot (-sin(2x + 1)) cdot 2

Passo 1: A função é composta de múltiplas camadas: g'(x) = -140 sin^6(cos(2x + 1)^10) cdot cos(cos(2x + 1)^10) cdot cos^9(2x + 1) cdot sin(2x + 1) onde e .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia múltiplas vezes.
Passo 3: Derivamos cada camada:
  • Primeira Camada:
    • Derivada: .
  • Segunda Camada:
    • Derivada: .
  • Terceira Camada:
    • Derivada: .
Passo 4: Montamos a derivada completa:

Passo 15

n) f'(x) = (numerador)' cdot denominador - numerador cdot (denominador)'(denominador)^2

Passo 1: A função é uma fração com numerador f'(x) = 10x3(x^2 + 4)^2/3(x^3 + ln(3x + 1)) - (x^2 + 4)^5/3(3x^2 + 33x + 1)(x^3 + ln(3x + 1))^2 e denominador .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
Passo 3: Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
    • Passo 3.1: Usamos a regra da cadeia.
    • Passo 3.2: Derivada é .
  • Denominador:
    • Passo 3.3: Derivada é .
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:

Passo 16

o) f'(x) = sec^2(5x^2 - x) cdot (10x - 1)

Passo 1: A função é uma função composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 17

p) g'(x) = -2xraiz1 - x^4

Passo 1: A função é composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Passo 18

q)

Passo 1: A função é uma fração com numerador e denominador f'(x) = (numerador)' cdot denominador - numerador cdot (denominador)'(denominador)^2 .
Passo 2: Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) = 2|2x + 1|raiz(2x + 1)^2 - 1 cdot 2^x - arcsec(2x + 1) cdot 2^x ln(2)(2^x)^2
Passo 3: Calculamos as derivadas:
  • Numerador:
    • Passo 3.1: Derivada de é f'(x) = 2 cdot 2^x|2x + 1|raiz4x^2 + 4x - arcsec(2x + 1) cdot 2^x ln(2)2^2x .
    • Passo 3.2: Aqui, f'(x) = 2|2x + 1|raiz4x^2 + 4x cdot 2^-x - arcsec(2x + 1) ln(2)2^x e f'(x) = 22^x |2x + 1|raiz4x^2 + 4x - arcsec(2x + 1) ln(2)2^x .
    • Passo 3.3: Então, .
  • Denominador:
    • Passo 3.4: Derivada de é . Aqui, .
    • Passo 3.5: Então, .
Passo 4: Aplicamos a regra do quociente:

Passo 19

r) f'(x) = 33x - 41 + (ln(3x - 4))^2 = 3(3x - 4)[1 + (ln(3x - 4))^2]

Passo 1: A função é composta: onde .
Passo 2: Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Passo 3: Calculamos e .
Passo 4: Aplicamos a regra:

Resposta

Aqui estão as derivadas calculadas para cada função:
a)
g'(x) = 2(x^3 + 2x)(3x^2 + 2)
b)
f'(x) = 2e^2x - 3
c)
f'(x) = -4x(2 + ln(x^2))^2
d)
g'(x) = e^sin(x) cdot cos(x) + cos(e^x) cdot e^x
e)
f'(x) = sin(2x) + 2cos(2x)
f)
f'(x) = 4x3(x^2 + 1)^1/3
g)
g'(x) = 4x cos(1 - x^2) sin(1 - x^2)
h)
f'(x) = (3 + 1x^2)cos(2x) - 2(3x - 1x)sin(2x)
i)
f'(x) = -csc(5x^2 - x) cot(5x^2 - x) cdot (10x - 1)
j)
g'(x) = 3tan^2(x)sec^2(x) + 3x^2sec^2(x^3)
k)
f'(x) = 2xcot(x)csc^2(x) + cot^2(x)x^2
l)
f'(x) = 20(x + tan(x))^19(1 + sec^2(x)) - 10(x + tan(x))^20tan(x)sec^10(x)
m)
g'(x) = -140 sin^6(cos(2x + 1)^10) cdot cos(cos(2x + 1)^10) cdot cos^9(2x + 1) cdot sin(2x + 1)
n)
f'(x) = 10x3(x^2 + 4)^2/3(x^3 + ln(3x + 1)) - (x^2 + 4)^5/3(3x^2 + 33x + 1)(x^3 + ln(3x + 1))^2
o)
f'(x) = sec^2(5x^2 - x) cdot (10x - 1)
p)
g'(x) = -2xraiz1 - x^4
q)
r)
f'(x) = 22^x |2x + 1|raiz4x^2 + 4x - arcsec(2x + 1) ln(2)2^x

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