Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico de uma função no ponto onde a abscissa (valor de ) é . Isso é importante em cálculo diferencial, onde usamos a derivada para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar saber como calcular derivadas e usar a equação da reta.

Passo 2

a) Função com
Primeiro, vamos encontrar o valor de para saber o ponto de tangência.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para encontrar a inclinação da reta tangente em .
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é 9.

Passo 4

Com a inclinação e o ponto de tangência, usamos a fórmula da reta :
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Usando novamente a fórmula da reta com o ponto :

Passo 6

b) Função com
Primeiro, encontramos :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 7

Calculamos a derivada de :
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 8

Usando a fórmula da reta tangente:

Passo 9

A inclinação da reta normal é:
Usando a fórmula da reta normal:

Passo 10

c) Função com
Primeiro, verificamos o valor de :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 11

Calculamos a derivada de :
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 12

Usando a fórmula da reta tangente:

Passo 13

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso:
Usando a fórmula da reta normal:

Resposta

c) A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a) , sendo ;
b) , sendo
c) , sabendo que
Calcule as seguintes derivadas:
Determine a derivada das seguintes funções:
Determine a expressão de , lembrando que .
a)
b)
c)
d)