Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0 :
a) g(x)=2 x^3+3 x-1 ; x0=1 b) f(x)=tg(x) ; x0=pi / 4 c) f(x)=raiz9-4 x ; x0=-4

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico de uma função no ponto onde a abscissa (valor de ) é . Isso é importante em cálculo diferencial, onde usamos a derivada para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar saber como calcular derivadas e usar a equação da reta.

Passo 2

a) Função g(1) = 2(1)^3 + 3(1) - 1 = 2 + 3 - 1 = 4 com
Primeiro, vamos encontrar o valor de para saber o ponto de tangência.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de g'(x) = ddx(2x^3 + 3x - 1) = 6x^2 + 3 para encontrar a inclinação da reta tangente em g'(1) = 6(1)^2 + 3 = 6 + 3 = 9 .
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é 9.

Passo 4

Com a inclinação e o ponto de tangência, usamos a fórmula da reta y - 4 = 9(x - 1) y = 9x - 9 + 4 y = 9x - 5 :
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mnormal = -19
Usando novamente a fórmula da reta com o ponto y - 4 = -19(x - 1) y = -19x + 19 + 4 y = -19x + 379 :

Passo 6

b) Função f(pi4) = tan(pi4) = 1 com
Primeiro, encontramos :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 7

Calculamos a derivada de f'(x) = sec^2(x) :
f'(pi4) = sec^2(pi4) = (raiz21)^2 = 2
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 8

Usando a fórmula da reta tangente:
y - 1 = 2(x - pi4) y = 2x - pi2 + 1 y = 2x - pi2 + 1

Passo 9

A inclinação da reta normal é:
mnormal = -12
Usando a fórmula da reta normal:
y - 1 = -12(x - pi4) y = -12x + pi8 + 1 y = -12x + pi8 + 1

Passo 10

c) Função f(-4) = raiz9 - 4(-4) = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 com
Primeiro, verificamos o valor de :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 11

Calculamos a derivada de f(x) = (9 - 4x)^12 f'(x) = 12(9 - 4x)^-12 cdot (-4) = -2raiz9 - 4x :
f'(-4) = -2raiz9 - 4(-4) = -2raiz25 = -25
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 12

Usando a fórmula da reta tangente:
y - 5 = -25(x + 4) y = -25x - 85 + 5 y = -25x + 175

Passo 13

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso:
mnormal = 52
Usando a fórmula da reta normal:
y - 5 = 52(x + 4) y = 52x + 10 + 5 y = 52x + 15

Resposta

c) A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados