Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Passo 1
Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico de uma função no ponto onde a abscissa (valor de
) é
. Isso é importante em cálculo diferencial, onde usamos a derivada para determinar a inclinação da reta tangente. Vamos precisar saber como calcular derivadas e usar a equação da reta.
Passo 2
a) Função
com
Primeiro, vamos encontrar o valor de
para saber o ponto de tangência.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para encontrar a inclinação da reta tangente em
.
Substituindo
:
Então, a inclinação da reta tangente é 9.
Passo 4
Com a inclinação e o ponto de tangência, usamos a fórmula da reta
:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Usando novamente a fórmula da reta com o ponto
:
Passo 6
b) Função
com
Primeiro, encontramos
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 7
Calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 8
Usando a fórmula da reta tangente:
Passo 9
A inclinação da reta normal é:
Usando a fórmula da reta normal:
Passo 10
c) Função
com
Primeiro, verificamos o valor de
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 11
Calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 12
Usando a fórmula da reta tangente:
Passo 13
A inclinação da reta normal é o negativo do inverso:
Usando a fórmula da reta normal:
Resposta
c) A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Para cada um dos itens a seguir, determinar:
a) , sendo
;
b) , sendo
c) , sabendo que
a)
b)
c)
Calcule as seguintes derivadas:
Determine a derivada das seguintes funções:
Determine a expressão de
, lembrando que
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)