Em cada um dos itens, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
(a) t^2 y^prime prime-2 y=3 t^2-1, t>0 ; y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1 Res: yp(t)=12+t^2 ln t.
(b) t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, t>0 ; y1(t)=1+t, y2(t)=e^t Res: yp(t)=12(t-1) e^2 t.
© x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-0,25) y=3 x^3 / 2 sin x, x>0 ; y1(t)=x^-1 / 2 sin x, y2(t)=x^-1 / 2 cos x Res: yp(x)=-32 x^1 / 2 cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as funções e satisfazem a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem. Vamos precisar utilizar a substituição das funções dadas na equação e aplicar métodos para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se t^2 y'' - 2y = 0 e t^2(2) - 2(t^2) = 2t^2 - 2t^2 = 0 satisfazem a equação homogênea associada. A equação dada é:
t^2(2t^-3) - 2(t^-1) = 2t^-1 - 2t^-1 = 0
Vamos calcular as derivadas de e :
Para :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Então, satisfaz a equação.
Para :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Então, também satisfaz a equação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular t^2 y'' - 2y = 3t^2 - 1 para a equação não homogênea:
yh(t) = C1 t^2 + C2 t^-1
Para isso, vamos usar o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
yp(t) = u(t) t^2 + v(t) t^-1
Então, assumimos que a solução particular tem a forma:
yp' = u' t^2 + 2u t + v' t^-1 - v t^-2
Onde yp'' = u'' t^2 + 4u' t + 2u + v'' t^-1 - 2v' t^-2 + 2v t^-3 e yp(t) = 12 + t^2 ln t são funções a serem determinadas. Calculamos as derivadas:
Substituindo , e na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para e . Após resolver esse sistema, encontramos que:

Resposta

A solução particular da equação não homogênea é:
yp(t) = 12 + t^2 ln t

Exercícios relacionados

Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(a) t y'' + 3 y = t, y(1) = 1 e y'(1) = 2 Res: 0 < t < infinito.
(b) t(t-4) y'' + 3t y' + 4y = 2, y(3) = 0 e y'(3) = -1 Res: 0 < t < 4.
© (x - 3) y'' + x y' + (ln |x|) y = 0, y(1) = 0 e y'(1) = 1 Res: 0 < x < 3.
(d) (x-2) y'' + y' + tan(x) (x-2) y = 0, y(3) = 1 e y'(3) = 2 Res: 2 < x < 3 pi / 2.
Resolva as seguintes inequações modulares:
(j) |4 + 1/x| < 6
(2,0) Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^2+k, & se x >= 0 sin xx, & se x<0. Determine o valor de k de modo que f seja contínua.
& f(0)=k, lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+(x^2+k)=k & lim x 0^- f(x)=lim x 0^- sen xx=1 & f continua Leftrightarrow k=1
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(d) raiz(36) + raiz(64) = raiz(36 + 64);