Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as funções e satisfazem a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem. Vamos precisar utilizar a substituição das funções dadas na equação e aplicar métodos para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se e satisfazem a equação homogênea associada. A equação dada é:
Vamos calcular as derivadas de e :
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Então, satisfaz a equação.
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Então, também satisfaz a equação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Para isso, vamos usar o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
Então, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções a serem determinadas. Calculamos as derivadas:
Substituindo , e na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para e . Após resolver esse sistema, encontramos que: