Em cada um dos itens, verifique que as funções dadas
e
satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
(a)
Res:
.
(b)
Res:
.
©
Res:
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as funções
e
satisfazem a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem. Vamos precisar utilizar a substituição das funções dadas na equação e aplicar métodos para encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
satisfazem a equação homogênea associada. A equação dada é:
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Para
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Então,
satisfaz a equação.
Para
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Substituindo na equação homogênea:
Então,
também satisfaz a equação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Para isso, vamos usar o método da variação dos parâmetros. Sabemos que a solução geral da equação homogênea é:
Então, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas. Calculamos as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original e simplificando, obtemos um sistema de equações para
e
. Após resolver esse sistema, encontramos que:
Resposta
A solução particular da equação não homogênea é: