Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(a) t y'' + 3 y = t, y(1) = 1 e y'(1) = 2 Res: 0 < t < infinito.
(b) t(t-4) y'' + 3t y' + 4y = 2, y(3) = 0 e y'(3) = -1 Res: 0 < t < 4.
© (x - 3) y'' + x y' + (ln |x|) y = 0, y(1) = 0 e y'(1) = 1 Res: 0 < x < 3.
(d) (x-2) y'' + y' + tan(x) (x-2) y = 0, y(3) = 1 e y'(3) = 2 Res: 2 < x < 3 pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o maior intervalo no qual o problema de valor inicial tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso está ligado à teoria das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, ao Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Para resolver isso, precisamos verificar onde as funções que aparecem na equação são contínuas e satisfazem certas condições. Vamos começar com a letra (a).

(a) , com e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO de segunda ordem:
Aqui, dividimos ambos os lados por (assumindo que ) para isolar .

Passo 3

Agora, identificamos as funções envolvidas na equação:
O Teorema de Existência e Unicidade nos diz que, para que haja uma solução única e duas vezes diferenciável, as funções e devem ser contínuas no intervalo considerado.

Passo 4

Vamos analisar a continuidade de e :
  • é contínua para .
  • é contínua para todo .
Portanto, a única restrição vem de , que não é definida em .

Passo 5

Além disso, o ponto inicial é , que está no intervalo onde e são contínuas. Assim, o maior intervalo onde a solução é garantida única e duas vezes diferenciável deve não incluir pontos onde ou deixam de ser contínuas.

Passo 6

Vamos para a segunda parte! A ideia continua a mesma: identificar onde as funções na equação são contínuas para garantir existência e unicidade da solução.

(b) , com e .

Passo 7

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo por (assumindo que ):
Simplificando:

Passo 8

Identificamos as fun��ões:
Devemos verificar onde essas funções são contínuas.

Passo 9

Analisando a continuidade:
  • não é contínua em .
  • e não são contínuas em e .

Passo 10

O ponto inicial é , que está entre e . Portanto, o intervalo onde todas as funções são contínuas ao redor de é .

Passo 11

Vamos continuar com a terceira parte! Seguimos o mesmo processo para verificar a continuidade das funções na equação.

© , com e .

Passo 12

Primeiro, reorganizamos a equação dividindo por (assumindo que ):

Passo 13

Identificamos as funções:
Devemos verificar onde e são contínuas.

Passo 14

Analisando a continuidade:
  • não é contínua em .
  • não é contínua em e (porque não é definida para ).

Passo 15

O ponto inicial é , que está no intervalo . Nesse intervalo, todas as funções são contínuas.

Passo 16

Finalmente, vamos para a última parte! Continuamos verificando as condições de continuidade para garantir existência e unicidade.

(d) , com e .

Passo 17

Primeiro, reorganizamos a equação dividindo por (assumindo que ):

Passo 18

Identificamos as funções:
Devemos verificar onde e são contínuas.

Passo 19

Analisando a continuidade:
  • não é contínua em .
  • não é contínua onde , ou seja, em , para qualquer inteiro .

Passo 20

O ponto inicial é . Precisamos identificar o intervalo que não inclui e os pontos onde não é contínua próximos a .
Observamos que o próximo ponto de descontinuidade de após é (aproximadamente 4,712). Portanto, o intervalo válido fica entre e .

Resposta

O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes inequações modulares:
(j) |4 + 1/x| < 6
Converting to a double integral Evaluate the integral
integral0^2(tan ^-1 pi x-tan ^-1 x) d x
(Hint: Write the integrand as an integral.)
Em cada um dos itens, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
(a) t^2 y^prime prime-2 y=3 t^2-1, t>0 ; y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1 Res: yp(t)=12+t^2 ln t.
(b) t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, t>0 ; y1(t)=1+t, y2(t)=e^t Res: yp(t)=12(t-1) e^2 t.
© x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-0,25) y=3 x^3 / 2 sin x, x>0 ; y1(t)=x^-1 / 2 sin x, y2(t)=x^-1 / 2 cos x Res: yp(x)=-32 x^1 / 2 cos x
(2,0) Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^2+k, & se x >= 0 sin xx, & se x<0. Determine o valor de k de modo que f seja contínua.
& f(0)=k, lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+(x^2+k)=k & lim x 0^- f(x)=lim x 0^- sen xx=1 & f continua Leftrightarrow k=1