Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o maior intervalo no qual o problema de valor inicial tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso está ligado à teoria das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, ao Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Para resolver isso, precisamos verificar onde as funções que aparecem na equação são contínuas e satisfazem certas condições. Vamos começar com a letra (a).
(a) , com e .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO de segunda ordem:
Aqui, dividimos ambos os lados por (assumindo que ) para isolar .
Passo 3
Agora, identificamos as funções envolvidas na equação:
O Teorema de Existência e Unicidade nos diz que, para que haja uma solução única e duas vezes diferenciável, as funções e devem ser contínuas no intervalo considerado.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de e :
é contínua para .
é contínua para todo .
Portanto, a única restrição vem de , que não é definida em .
Passo 5
Além disso, o ponto inicial é , que está no intervalo onde e são contínuas. Assim, o maior intervalo onde a solução é garantida única e duas vezes diferenciável deve não incluir pontos onde ou deixam de ser contínuas.
Passo 6
Vamos para a segunda parte! A ideia continua a mesma: identificar onde as funções na equação são contínuas para garantir existência e unicidade da solução.
(b) , com e .
Passo 7
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo por (assumindo que ):
Simplificando:
Passo 8
Identificamos as fun��ões:
Devemos verificar onde essas funções são contínuas.
Passo 9
Analisando a continuidade:
não é contínua em .
e não são contínuas em e .
Passo 10
O ponto inicial é , que está entre e . Portanto, o intervalo onde todas as funções são contínuas ao redor de é .
Passo 11
Vamos continuar com a terceira parte! Seguimos o mesmo processo para verificar a continuidade das funções na equação.