Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(a)
e
Res:
.
(b)
e
Res:
.
©
e
Res:
.
(d)
e
Res:
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o maior intervalo no qual o problema de valor inicial tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso está ligado à teoria das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, ao Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Para resolver isso, precisamos verificar onde as funções que aparecem na equação são contínuas e satisfazem certas condições. Vamos começar com a letra (a).
(a)
, com
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão de uma EDO de segunda ordem:
Aqui, dividimos ambos os lados por
(assumindo que
) para isolar
.
Passo 3
Agora, identificamos as funções envolvidas na equação:
O Teorema de Existência e Unicidade nos diz que, para que haja uma solução única e duas vezes diferenciável, as funções
e
devem ser contínuas no intervalo considerado.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de
e
:
-
é contínua para . -
é contínua para todo .
Portanto, a única restrição vem de
, que não é definida em
.
Passo 5
Além disso, o ponto inicial é
, que está no intervalo onde
e
são contínuas. Assim, o maior intervalo onde a solução é garantida única e duas vezes diferenciável deve não incluir pontos onde
ou
deixam de ser contínuas.
Passo 6
Vamos para a segunda parte! A ideia continua a mesma: identificar onde as funções na equação são contínuas para garantir existência e unicidade da solução.
(b)
, com
e
.
Passo 7
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(assumindo que
):
Simplificando:
Passo 8
Identificamos as fun��ões:
Devemos verificar onde essas funções são contínuas.
Passo 9
Analisando a continuidade:
-
não é contínua em . -
e não são contínuas em e .
Passo 10
O ponto inicial é
, que está entre
e
. Portanto, o intervalo onde todas as funções são contínuas ao redor de
é
.
Passo 11
Vamos continuar com a terceira parte! Seguimos o mesmo processo para verificar a continuidade das funções na equação.
©
, com
e
.
Passo 12
Primeiro, reorganizamos a equação dividindo por
(assumindo que
):
Passo 13
Identificamos as funções:
Devemos verificar onde
e
são contínuas.
Passo 14
Analisando a continuidade:
-
não é contínua em . -
não é contínua em e (porque não é definida para ).
Passo 15
O ponto inicial é
, que está no intervalo
. Nesse intervalo, todas as funções são contínuas.
Passo 16
Finalmente, vamos para a última parte! Continuamos verificando as condições de continuidade para garantir existência e unicidade.
(d)
, com
e
.
Passo 17
Primeiro, reorganizamos a equação dividindo por
(assumindo que
):
Passo 18
Identificamos as funções:
Devemos verificar onde
e
são contínuas.
Passo 19
Analisando a continuidade:
-
não é contínua em . -
não é contínua onde , ou seja, em , para qualquer inteiro .
Passo 20
O ponto inicial é
. Precisamos identificar o intervalo que não inclui
e os pontos onde
não é contínua próximos a
.
Observamos que o próximo ponto de descontinuidade de
após
é
(aproximadamente 4,712). Portanto, o intervalo válido fica entre
e
.
Resposta
O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é
.