(2,0) Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^2+k, & se x >= 0 sin xx, & se x<0. Determine o valor de k de modo que f seja contínua.
& f(0)=k, lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+(x^2+k)=k & lim x 0^- f(x)=lim x 0^- sen xx=1 & f continua Leftrightarrow k=1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
  • Para ,
  • Para ,
Queremos descobrir o valor de que faz com que a função seja contínua em todos os pontos, especialmente em .

Passo 2

Para garantir que a função seja contínua em , precisamos que o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ) seja igual ao limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e que ambos sejam iguais ao valor da função em , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular f(0) = 0^2 + k = k . Como , usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx 0^+ f(x) = limx 0^+ (x^2 + k) = 0 + k = k quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Aqui, usamos o fato de que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de limx 0^- f(x) = limx 0^- sin xx = 1 quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Esse limite é uma propriedade conhecida do cálculo: .

Passo 6

Para a função f(0) = limx 0^+ f(x) = limx 0^- f(x) ser contínua em k = k = 1 , os três valores devem ser iguais:
Substituindo os valores que encontramos:
A única forma disso ser verdadeiro é se .

Resposta

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