(2,0) Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^2+k, & se x >= 0 sin xx, & se x<0. Determine o valor de k de modo que f seja contínua.
& f(0)=k, lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+(x^2+k)=k & lim x 0^- f(x)=lim x 0^- sen xx=1 & f continua Leftrightarrow k=1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
  • Para ,
  • Para ,
Queremos descobrir o valor de que faz com que a função seja contínua em todos os pontos, especialmente em .

Passo 2

Para garantir que a função seja contínua em , precisamos que o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ) seja igual ao limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e que ambos sejam iguais ao valor da função em , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular f(0) = 0^2 + k = k . Como , usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx 0^+ f(x) = limx 0^+ (x^2 + k) = 0 + k = k quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Aqui, usamos o fato de que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de limx 0^- f(x) = limx 0^- sin xx = 1 quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Esse limite é uma propriedade conhecida do cálculo: .

Passo 6

Para a função f(0) = limx 0^+ f(x) = limx 0^- f(x) ser contínua em k = k = 1 , os três valores devem ser iguais:
Substituindo os valores que encontramos:
A única forma disso ser verdadeiro é se .

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
(a) t^2 y^prime prime-2 y=3 t^2-1, t>0 ; y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1 Res: yp(t)=12+t^2 ln t.
(b) t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, t>0 ; y1(t)=1+t, y2(t)=e^t Res: yp(t)=12(t-1) e^2 t.
© x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-0,25) y=3 x^3 / 2 sin x, x>0 ; y1(t)=x^-1 / 2 sin x, y2(t)=x^-1 / 2 cos x Res: yp(x)=-32 x^1 / 2 cos x
Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(a) t y'' + 3 y = t, y(1) = 1 e y'(1) = 2 Res: 0 < t < infinito.
(b) t(t-4) y'' + 3t y' + 4y = 2, y(3) = 0 e y'(3) = -1 Res: 0 < t < 4.
© (x - 3) y'' + x y' + (ln |x|) y = 0, y(1) = 0 e y'(1) = 1 Res: 0 < x < 3.
(d) (x-2) y'' + y' + tan(x) (x-2) y = 0, y(3) = 1 e y'(3) = 2 Res: 2 < x < 3 pi / 2.
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(d) raiz(36) + raiz(64) = raiz(36 + 64);
Calcule a integral integral duplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=y e B é o conjunto de todos os pontos ( x, y) tais que x^2+4 y^2 <= 1.