Considere a função
dada por
. Determine o valor de
de modo que
seja contínua.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por partes:
- Para
, - Para
,
Queremos descobrir o valor de
que faz com que a função
seja contínua em todos os pontos, especialmente em
.
Passo 2
Para garantir que a função seja contínua em
, precisamos que o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
) seja igual ao limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
) e que ambos sejam iguais ao valor da função em
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Aqui, usamos o fato de que
tende a 0 quando
tende a 0.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Esse limite é uma propriedade conhecida do cálculo:
.
Passo 6
Para a função
ser contínua em
, os três valores devem ser iguais:
Substituindo os valores que encontramos:
A única forma disso ser verdadeiro é se
.