Resolva as seguintes inequações modulares:
(j) |4 + 1/x| < 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação |4 + 1/x| < 6. A matéria aqui é sobre inequações modulares, que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades do valor absoluto e entender como resolver desigualdades envolvendo frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma expressão do tipo , isso significa que A está entre e B. Então, aplicando isso à nossa inequação:

Passo 3

Agora, vamos isolar 1/x. Para isso, subtraímos 4 de todas as partes da desigualdade:
Simplificando:

Passo 4

Aqui, precisamos resolver para x, mas atenção: como x está no denominador, precisamos considerar dois casos distintos: quando x é positivo e quando x é negativo. Isso porque a desigualdade muda de direção dependendo do sinal de x.
Caso 1:
Multiplicamos todas as partes da desigualdade por x (positivo, então a direção das desigualdades permanece):
Dividindo as duas partes:
Como já satisfaz , a solução nesse caso é .
Caso 2:
Multiplicamos todas as partes da desigualdade por x (negativo, então a direção das desigualdades inverte):
Dividindo as duas partes:
Como já satisfaz , a solução nesse caso é .

Resposta

Portanto, a solução da inequação |4 + 1/x| < 6 é:

Exercícios relacionados

Converting to a double integral Evaluate the integral
integral0^2(tan ^-1 pi x-tan ^-1 x) d x
(Hint: Write the integrand as an integral.)
Find the volume of the region bounded above by the paraboloid z = x^2 + y^2 and below by the triangle enclosed by the lines y = x, x = 0, and x + y = 2 in the x y-plane.
Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(a) t y'' + 3 y = t, y(1) = 1 e y'(1) = 2 Res: 0 < t < infinito.
(b) t(t-4) y'' + 3t y' + 4y = 2, y(3) = 0 e y'(3) = -1 Res: 0 < t < 4.
© (x - 3) y'' + x y' + (ln |x|) y = 0, y(1) = 0 e y'(1) = 1 Res: 0 < x < 3.
(d) (x-2) y'' + y' + tan(x) (x-2) y = 0, y(3) = 1 e y'(3) = 2 Res: 2 < x < 3 pi / 2.
Em cada um dos itens, verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
(a) t^2 y^prime prime-2 y=3 t^2-1, t>0 ; y1(t)=t^2, y2(t)=t^-1 Res: yp(t)=12+t^2 ln t.
(b) t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, t>0 ; y1(t)=1+t, y2(t)=e^t Res: yp(t)=12(t-1) e^2 t.
© x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-0,25) y=3 x^3 / 2 sin x, x>0 ; y1(t)=x^-1 / 2 sin x, y2(t)=x^-1 / 2 cos x Res: yp(x)=-32 x^1 / 2 cos x