Cada limite representa a derivada de certa função em um certo número . Diga o que são e em cada caso.

Passo 1

Tudo bem! Vamos lá: o exercício nos dá um limite que representa a derivada de uma função em um ponto . A nossa missão é identificar qual é a função e qual é o ponto nesse limite específico. Para resolver isso, vamos lembrar que a derivada de uma função no ponto é definida pelo limite:
Então, precisamos comparar essa definição com o limite que temos no exercício.

Passo 2

Olha só o limite que temos:
Comparando com a definição da derivada, percebemos que no numerador temos . Na definição padrão, teríamos . Aqui, parece que , mas sabemos que . Isso sugere que talvez haja uma pequena diferença na formulação, mas vamos focar em identificar e .

Passo 3

Vamos considerar que a função é . Assim, . Comparando com o numerador do nosso limite, temos . Portanto, deve ser , já que substituindo , temos .

Passo 4

Confirmando, se e , então a derivada de em é:
No exercício, o limite dado é , que falta o no numerador. Isso pode ser uma simplificação ou parte de um contexto específico, mas para identificar e , nossa análise está correta.

Resposta

A função é e o ponto é .

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