Cada limite representa a derivada de certa função
em um certo número
. Diga o que são
e
em cada caso.
Passo 1
Tudo bem! Vamos lá: o exercício nos dá um limite que representa a derivada de uma função
em um ponto
. A nossa missão é identificar qual é a função
e qual é o ponto
nesse limite específico. Para resolver isso, vamos lembrar que a derivada de uma função no ponto
é definida pelo limite:
Então, precisamos comparar essa definição com o limite que temos no exercício.
Passo 2
Olha só o limite que temos:
Comparando com a definição da derivada, percebemos que no numerador temos
. Na definição padrão, teríamos
. Aqui, parece que
, mas sabemos que
. Isso sugere que talvez haja uma pequena diferença na formulação, mas vamos focar em identificar
e
.
Passo 3
Vamos considerar que a função
é
. Assim,
. Comparando com o numerador do nosso limite, temos
. Portanto,
deve ser
, já que substituindo
, temos
.
Passo 4
Confirmando, se
e
, então a derivada de
em
é:
No exercício, o limite dado é
, que falta o
no numerador. Isso pode ser uma simplificação ou parte de um contexto específico, mas para identificar
e
, nossa análise está correta.
Resposta
A função
é
e o ponto
é
.
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.
Derive.