Determine se existe ou não
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a derivada de
em
, ou seja,
, existe. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada no ponto
. Vamos precisar entender como calcular o limite que define a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função
em um ponto
:
No nosso caso, queremos encontrar
, então substituímos
por 0:
Passo 3
Sabemos que
, então a expressão simplifica para:
Agora, vamos analisar esse limite.
Passo 4
A função oscila entre -1 e 1 para valores de
próximos de 0, porque o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Mas à medida que
se aproxima de 0,
cresce sem limite, fazendo com que o argumento do seno oscile cada vez mais rapidamente.
Passo 5
Como não se aproxima de nenhum valor específico quando
tende a 0 (ela continua oscilando entre -1 e 1 sem se estabilizar), o limite:
não existe. Portanto, a derivada
também não existe.
Resposta
Não existe derivada
para a função dada.
Exercícios relacionados
Cada limite representa a derivada de certa função
em um certo número
. Diga o que são
e
em cada caso.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Derive.
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.