Determine se existe ou não .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a derivada de em , ou seja, , existe. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada no ponto . Vamos precisar entender como calcular o limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função em um ponto :
No nosso caso, queremos encontrar , então substituímos por 0:

Passo 3

Sabemos que , então a expressão simplifica para:
Agora, vamos analisar esse limite.

Passo 4

A função oscila entre -1 e 1 para valores de próximos de 0, porque o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Mas à medida que se aproxima de 0, cresce sem limite, fazendo com que o argumento do seno oscile cada vez mais rapidamente.

Passo 5

Como não se aproxima de nenhum valor específico quando tende a 0 (ela continua oscilando entre -1 e 1 sem se estabilizar), o limite:
não existe. Portanto, a derivada também não existe.

Resposta

Não existe derivada para a função dada.

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Cada limite representa a derivada de certa função em um certo número . Diga o que são e em cada caso.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Derive.
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais. .