Cada limite representa a derivada de uma função f em um número a. Encontre a função f e o número a em cada caso.
lim h 0 sen(h+pi)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que cada limite representa a derivada de uma função limh 0 sin(h + pi)h em um ponto . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função e o valor de para o limite dado:
Vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela está relacionada com esse limite.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a derivada de uma função f'(a) = limh 0 f(a + h) - f(a)h em um ponto f(a + h) - f(a)h = sin(h + pi)h é definida por:
f(a + h) - f(a) = sin(h + pi)
Comparando isso com o limite que temos, vemos que:
Isso significa que:

Passo 3

Vamos agora tentar descobrir f(a + 0) - f(a) = sin(0 + pi) implies f(a) - f(a) = sin(pi) implies 0 = 0 . Se colocarmos na equação acima:
Isso não nos dá informação nova, então precisamos de outra abordagem. Observando a expressão , percebemos que está sendo adicionado a . Isso sugere que .

Passo 4

Assumindo que f'(a) = limh 0 f(pi + h) - f(pi)h = limh 0 sin(h + pi)h , substituímos na definição da derivada:
f(pi + h) = sin(h + pi)
Comparando com o limite dado, vemos que:
f(x) = sin(x)
Para que isso seja válido para qualquer , nossa função precisa ser:

Resposta

A função é e o número é .

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