Cada limite representa a derivada de uma função
em um número
. Encontre a função
e o número
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que cada limite representa a derivada de uma função
em um ponto
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função
e o valor de
para o limite dado:
Vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela está relacionada com esse limite.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a derivada de uma função
em um ponto
é definida por:
Comparando isso com o limite que temos, vemos que:
Isso significa que:
Passo 3
Vamos agora tentar descobrir
. Se colocarmos
na equação acima:
Isso não nos dá informação nova, então precisamos de outra abordagem. Observando a expressão
, percebemos que
está sendo adicionado a
. Isso sugere que
.
Passo 4
Assumindo que
, substituímos na definição da derivada:
Comparando com o limite dado, vemos que:
Para que isso seja válido para qualquer
, nossa função
precisa ser:
Resposta
A função é
e o número é
.