Um fabricante de motocicletas estima que, se gastar
milhares de reais por ano em publicidade, conseguirá vender
motocicletas. Qual será a taxa de variação das vendas com a quantia gasta se o fabricante investir R $9.000,00 em publicidade? Para esse nível de investimento em publicidade, as vendas estão aumentando ou diminuindo com a quantia investida?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como as vendas de motocicletas variam conforme o investimento em publicidade. A função que descreve isso é:
Aqui,
representa o investimento em milhares de reais, e
é o número de motocicletas vendidas. Queremos descobrir a taxa de variação das vendas quando o fabricante investe R$9.000,00 em publicidade. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos mostra como uma função muda em relação a uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
correspondente a R$9.000,00. Como
está em milhares de reais:
Então, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, e depois avaliaremos em
.
Passo 3
Vamos derivar a função
:
A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada termo:
-
A derivada de uma constante é zero:
-
A derivada de
é: -
A derivada de
é:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos avaliar
em
:
Calculando cada fração:
Somando os dois:
Passo 5
A interpretação desse resultado é a seguinte:
indica que, quando o fabricante investe R$9.000,00 em publicidade, a taxa de variação das vendas é aproximadamente -2,962 motocicletas por mil reais investidos.
Resposta
A taxa de variação das vendas quando o fabricante investe R$9.000,00 em publicidade é de aproximadamente -2,96 motocicletas por mil reais. Isso significa que, nesse nível de investimento, as vendas estão diminuindo conforme a quantia investida aumenta.
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Resolva:
6.10.
6.10.
Cada limite representa a derivada de uma função
em um número
. Encontre a função
e o número
em cada caso.
Derive a função
Encontre a transformada inversa pedida.
1.1.
1.1.