Um fabricante de motocicletas estima que, se gastar milhares de reais por ano em publicidade, conseguirá vender
motocicletas. Qual será a taxa de variação das vendas com a quantia gasta se o fabricante investir R $9.000,00 em publicidade? Para esse nível de investimento em publicidade, as vendas estão aumentando ou diminuindo com a quantia investida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como as vendas de motocicletas variam conforme o investimento em publicidade. A função que descreve isso é:
Aqui, representa o investimento em milhares de reais, e é o número de motocicletas vendidas. Queremos descobrir a taxa de variação das vendas quando o fabricante investe R$9.000,00 em publicidade. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos mostra como uma função muda em relação a uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de correspondente a R$9.000,00. Como está em milhares de reais:
Então, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, , e depois avaliaremos em .

Passo 3

Vamos derivar a função :
A derivada de em relação a é:
Calculando cada termo:
  • A derivada de uma constante é zero:
  • A derivada de é:
  • A derivada de é:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos avaliar em :
Calculando cada fração:
Somando os dois:

Passo 5

A interpretação desse resultado é a seguinte: indica que, quando o fabricante investe R$9.000,00 em publicidade, a taxa de variação das vendas é aproximadamente -2,962 motocicletas por mil reais investidos.

Resposta

A taxa de variação das vendas quando o fabricante investe R$9.000,00 em publicidade é de aproximadamente -2,96 motocicletas por mil reais. Isso significa que, nesse nível de investimento, as vendas estão diminuindo conforme a quantia investida aumenta.

Exercícios relacionados

Resolva:
6.10.
Cada limite representa a derivada de uma função em um número . Encontre a função e o número em cada caso.
Derive a função
Encontre a transformada inversa pedida.
1.1.