Cada limite representa a derivada de uma função em um número . Encontre a função e o número em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas e limites. Mais especificamente, cada limite dado representa a derivada de uma função em um ponto . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função e o valor de nesse caso. Para isso, vamos usar a definição de derivada que relaciona limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função no ponto . A derivada é dada por:
Esse limite basicamente nos mostra como a função está mudando em torno do ponto .

Passo 3

Agora, vamos comparar a definição acima com o limite que temos no exercício:
Observamos que está se aproximando de 4, então podemos inferir que .

Passo 4

De acordo com a definição da derivada, o numerador corresponde a . Sabendo que , podemos substituir na expressão:
Isso significa que , já que .

Passo 5

Com essa informação, podemos identificar a função . Observando que , fica claro que a função é uma função exponencial de base 3. Portanto:

Resposta

A função é e o número é .

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