Cada limite representa a derivada de uma função
em um número
. Encontre a função
e o número
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas e limites. Mais especificamente, cada limite dado representa a derivada de uma função
em um ponto
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função
e o valor de
nesse caso. Para isso, vamos usar a definição de derivada que relaciona limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função
no ponto
. A derivada
é dada por:
Esse limite basicamente nos mostra como a função está mudando em torno do ponto
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a definição acima com o limite que temos no exercício:
Observamos que
está se aproximando de 4, então podemos inferir que
.
Passo 4
De acordo com a definição da derivada, o numerador
corresponde a
. Sabendo que
, podemos substituir na expressão:
Isso significa que
, já que
.
Passo 5
Com essa informação, podemos identificar a função
. Observando que
, fica claro que a função
é uma função exponencial de base 3. Portanto:
Resposta
A função é
e o número é
.
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.
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