Quando x milhares de unidades de peças são fabricadas e vendidas, o lucro de uma fábrica é dado por
L(x) = -400 x^2 + 6800 x - 12000
Calcule L'(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o lucro de uma fábrica quando ela fabrica e vende x milhares de unidades de peças. O lucro é dado pela função:
Nosso objetivo aqui é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar L'(x). Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função. Derivar uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No caso, L(x) nos mostra como o lucro muda quando a quantidade de peças x muda. Então, L'(x) nos dirá exatamente como o lucro está aumentando ou diminuindo à medida que produzimos mais ou menos peças.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar das regras básicas de derivação. Para derivar uma função polinomial como a nossa, aplicamos a regra do poder, que diz que a derivada de é . Além disso, a derivada de uma constante é zero, e podemos derivar termo a termo.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do poder a cada termo da função L(x):
  1. Para o primeiro termo :
    • A derivada será
  2. Para o segundo termo :
    • A derivada será
  3. Para o terceiro termo :
    • A derivada de uma constante é 0

Passo 5

Agora, juntando as derivadas de cada termo, temos:

Resposta

A derivada da função lucro é:

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