Cada limite representa a derivada de uma função
em um número
. Encontre a função
e o número
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função
e o número
onde a derivada dessa função em
está representada pelo limite dado. Então, estamos trabalhando com derivadas aqui, especificamente usando o conceito de limite que define a derivada de uma função em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de
em um ponto
é definida pelo limite:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos comparar essa definição com o limite que foi dado no exercício:
Aqui, podemos ver que essa expressão deve ser igual a
. Então, vamos identificar as partes correspondentes.
Passo 4
Observando o numerador do limite, temos
. Comparando com a definição da derivada, isso corresponde a
. Portanto:
Passo 5
Sabemos que
. Para encontrar
, vamos igualar
à expressão de
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos determinar a função
. Sabemos que:
Resposta
A função é
e o número é
.
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