Cada limite representa a derivada de uma função f em um número a. Encontre a função f e o número a em cada caso.
lim h 0 (1+h)^11-1h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função e o número onde a derivada dessa função em está representada pelo limite dado. Então, estamos trabalhando com derivadas aqui, especificamente usando o conceito de limite que define a derivada de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de f'(a) = limh to 0 f(a+h) - f(a)h em um ponto é definida pelo limite:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos comparar essa definição com o limite que foi dado no exercício:
limh to 0 (1+h)^11 - 1h
Aqui, podemos ver que essa expressão deve ser igual a . Então, vamos identificar as partes correspondentes.

Passo 4

Observando o numerador do limite, temos f(a + h) = (1 + h)^11 . Comparando com a definição da derivada, isso corresponde a f(a) = 1 . Portanto:

Passo 5

Sabemos que f(a) = a^11 = 1 . Para encontrar a^11 = 1 implies a = 1 , vamos igualar à expressão de :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos f(x) = x^11 , podemos determinar a função . Sabemos que:

Resposta

A função é e o número é .

Exercícios relacionados