Cada limite representa a derivada de uma função em um número . Encontre a função e o número em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função e o número onde a derivada dessa função em está representada pelo limite dado. Então, estamos trabalhando com derivadas aqui, especificamente usando o conceito de limite que define a derivada de uma função em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada de em um ponto é definida pelo limite:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos comparar essa definição com o limite que foi dado no exercício:
Aqui, podemos ver que essa expressão deve ser igual a . Então, vamos identificar as partes correspondentes.

Passo 4

Observando o numerador do limite, temos . Comparando com a definição da derivada, isso corresponde a . Portanto:

Passo 5

Sabemos que . Para encontrar , vamos igualar à expressão de :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos , podemos determinar a função . Sabemos que:

Resposta

A função é e o número é .

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