Encontre a transformada inversa pedida.
1.13.
1.13.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de
. Isso está dentro da matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e as propriedades dela, especialmente para funções hiperbólicas como a seno hiperbólico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Isso basicamente “transforma” uma função do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 3
Agora, vamos focar na função que temos:
. A seno hiperbólico é uma função comum nas transformadas de Laplace, e existe uma fórmula específica para a transformada de
:
Aqui,
é uma constante que multiplica
dentro da função hiperbólica.
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde
, temos:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Derive a função
Encontre a transformada inversa pedida.
1.1.
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Cada limite representa a derivada de uma função
em um número
. Encontre a função
e o número
em cada caso.
Encontre a transformada inversa pedida.
1.14.
1.14.