Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função
em um certo ponto
. Diga qual é a função
e qual é o valor de
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra um limite que representa a derivada de uma função
em um ponto
. Nosso trabalho é descobrir qual é essa função
e qual o valor de
. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que basicamente nos ajuda a encontrar a inclinação da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a definição da derivada de uma função
no ponto
. Ela é dada por:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.
Passo 3
Comparando com o limite que temos no exercício:
Podemos notar que o numerador parece corresponder a
. Então, vamos identificar
e
.
Passo 4
Vamos igualar o numerador com a expressão da definição da derivada:
Isso sugere que:
Porque:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a função
. Observando que
, podemos generalizar para qualquer
:
Passo 6
Sabemos que
. Sabendo que
, temos:
Isso acontece quando
, pois
.
Resposta
A função é
e o valor de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
.
Encontre
por derivação implícita.
.
Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Derive: