Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função f em um certo ponto a. Diga qual é a função f e qual é o valor de a em cada caso.
lim h 0 cos (pi+h)+1h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra um limite que representa a derivada de uma função f em um ponto a. Nosso trabalho é descobrir qual é essa função f e qual o valor de a. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que basicamente nos ajuda a encontrar a inclinação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição da derivada de uma função f no ponto a. Ela é dada por:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Esse limite nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Comparando com o limite que temos no exercício:
limh to 0 cos(pi + h) + 1h
Podemos notar que o numerador parece corresponder a f(a + h) - f(a). Então, vamos identificar f(a + h) e f(a).

Passo 4

Vamos igualar o numerador com a expressão da definição da derivada:
cos(pi + h) + 1 = f(a + h) - f(a)
Isso sugere que:
f(a + h) = cos(pi + h)
f(a) = -1
Porque:
cos(pi + h) - (-1) = cos(pi + h) + 1

Passo 5

Agora, queremos encontrar a função f(x). Observando que f(a + h) = cos(pi + h), podemos generalizar para qualquer x:
f(x) = cos x

Passo 6

Sabemos que f(a) = -1. Sabendo que f(x) = cos x, temos:
cos a = -1
Isso acontece quando a = pi, pois cos pi = -1.

Resposta

A função é f(x) = cos x e o valor de a é pi.

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