Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função em um certo ponto . Diga qual é a função e qual é o valor de em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos mostra um limite que representa a derivada de uma função em um ponto . Nosso trabalho é descobrir qual é essa função e qual o valor de . Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada, que basicamente nos ajuda a encontrar a inclinação da função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a definição da derivada de uma função no ponto . Ela é dada por:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Comparando com o limite que temos no exercício:
Podemos notar que o numerador parece corresponder a . Então, vamos identificar e .

Passo 4

Vamos igualar o numerador com a expressão da definição da derivada:
Isso sugere que:
Porque:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a função . Observando que , podemos generalizar para qualquer :

Passo 6

Sabemos que . Sabendo que , temos:
Isso acontece quando , pois .

Resposta

A função é e o valor de é .

Exercícios relacionados

Encontre e .
.
Encontre por derivação implícita.
.
Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Derive: