Encontre y' e y''.
y = x / (x^2 - 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde vamos usar regras de derivação, especialmente a regra do quociente. Vamos precisar entender como derivar frações envolvendo funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, usamos a regra do quociente, que é utilizada quando você tem uma função na forma de uma divisão de duas funções.
A regra do quociente diz que se , então:
No nosso caso, e .
Vamos derivar e :
Agora aplicamos a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar novamente .
Temos:
Vamos simplificar antes de derivar:
Para derivar , usamos novamente a regra do quociente. Vamos definir e .
Primeiro, derivamos e :
Agora aplicamos a regra do quociente para :
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :
Portanto:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

Exercícios relacionados