Encontre
por derivação implícita.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando derivação implícita. O enunciado é
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a técnica de derivação implícita. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Começando pelo lado esquerdo:
. Para derivar essa expressão, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Agora, vamos encontrar
:
Então, a derivada do lado esquerdo é:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
. A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é
. Portanto:
Passo 4
Com as derivadas dos dois lados, nossa equação fica:
Vamos simplificar e resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo:
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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Derive:
Derive:
Encontre
e
.
.
Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função
em um certo ponto
. Diga qual é a função
e qual é o valor de
em cada caso.