Encontre d/y d/x por derivação implícita.
e^(x/y) = x - y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita. O enunciado é . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a técnica de derivação implícita. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Começando pelo lado esquerdo: . Para derivar essa expressão, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .
Agora, vamos encontrar :
Então, a derivada do lado esquerdo é:

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação: . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é . Portanto:

Passo 4

Com as derivadas dos dois lados, nossa equação fica:
Vamos simplificar e resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo:
Vamos agrupar os termos que contêm :
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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