Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada, que envolve um limite. Além disso, vamos precisar descobrir quais são os domínios da função original e da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é o limite, quando tende a zero, da diferença entre e dividida por . Em fórmula, fica assim:

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, substituímos e na fórmula:
Simplificando dentro das raízes:

Passo 4

Agora, para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é . Fazendo isso, temos:

Passo 5

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, o limite fica:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é .
O domínio da função original é , já que a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa. Já o domínio da derivada também é , porque no ponto a derivada não está definida (o denominador seria zero).

Exercícios relacionados

Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função em um certo ponto . Diga qual é a função e qual é o valor de em cada caso.
Encontre e .
.
Derive:
Derive: