Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada, que envolve um limite. Além disso, vamos precisar descobrir quais são os domínios da função original e da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é o limite, quando
tende a zero, da diferença entre
e
dividida por
. Em fórmula, fica assim:
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, substituímos
e
na fórmula:
Simplificando dentro das raízes:
Passo 4
Agora, para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Fazendo isso, temos:
Passo 5
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, o limite fica:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
é
.
O domínio da função original
é
, já que a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa. Já o domínio da derivada
também é
, porque no ponto
a derivada não está definida (o denominador seria zero).
Exercícios relacionados
Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função
em um certo ponto
. Diga qual é a função
e qual é o valor de
em cada caso.
Encontre
e
.
.
Derive:
Derive: