Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função f em um certo ponto a. Diga qual é a função f e qual é o valor de a em cada caso.
lim t 1 t^4+t-2t-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo, mais especificamente de derivadas. O que a gente precisa fazer é descobrir qual é a função lim t 1 t^4+t-2t-1 e o ponto para o qual o limite dado representa a derivada dessa função no ponto . O limite que a gente tem é:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função f'(a) = limt a f(t) - f(a)t - a em um ponto f(t) - f(a)t - a = t^4 + t - 2t - 1 pode ser definida como:
Comparando isso com o limite que a gente tem, vemos que:

Passo 3

Daí, podemos identificar que f(t) - f(1) = t^4 + t - 2 , já que o está tendendo a 1 no limite. Agora, precisamos encontrar a função tal que:

Passo 4

Para achar f(t) = t^4 + t - 2 + f(1) , vamos somar f(1) = 1^4 + 1 - 2 + f(1) em ambos os lados:
f(1) = 1 + 1 - 2 + f(1) Rightarrow f(1) = f(1)
Mas não sabemos ainda. Para descobrir, vamos considerar que quando , a função deve ser bem definida. Vamos substituir na expressão original de :
Simplificando:
Isso não nos dá nova informação, então vamos escolher , onde é uma constante.

Passo 5

Para simplificar, podemos definir f(t) = t^4 + t - 2 . Entretanto, para que a função seja consistente, é comum escolher , já que a diferença já está representada no numerador.
Então, podemos definir:

Resposta

A função é e o ponto é .

Exercícios relacionados

Encontre y' e y''.
y = cos^2(x).
Derive:
l(x) = x * arctg(x)
Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
g(t) = 5t - 8t^2.
Derive:
f(x) = -5