Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função
em um certo ponto
. Diga qual é a função
e qual é o valor de
em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo, mais especificamente de derivadas. O que a gente precisa fazer é descobrir qual é a função
e o ponto
para o qual o limite dado representa a derivada dessa função no ponto
. O limite que a gente tem é:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função
em um ponto
pode ser definida como:
Comparando isso com o limite que a gente tem, vemos que:
Passo 3
Daí, podemos identificar que
, já que o
está tendendo a 1 no limite. Agora, precisamos encontrar a função
tal que:
Passo 4
Para achar
, vamos somar
em ambos os lados:
Mas não sabemos
ainda. Para descobrir, vamos considerar que quando
, a função deve ser bem definida. Vamos substituir
na expressão original de
:
Simplificando:
Isso não nos dá nova informação, então vamos escolher
, onde
é uma constante.
Passo 5
Para simplificar, podemos definir
. Entretanto, para que a função seja consistente, é comum escolher
, já que a diferença
já está representada no numerador.
Então, podemos definir:
Resposta
A função é
e o ponto é
.
Exercícios relacionados
Encontre
e
.
.
Derive:
Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Derive: