Derive:
l(x) = x * arctg(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente da Derivação de Funções que são o produto de duas outras funções. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e saber como derivar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a regra do produto funciona. Se você tem uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , então a derivada dessa função é dada por:
Ou seja, a derivada do primeiro multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que vamos usar na regra do produto:
Vamos derivar cada uma delas:
  1. Derivada de :
    Fácil, a derivada de em relação a é 1.
  2. Derivada de :
    Isso porque a derivada da função arco-tangente é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do produto com as derivadas que encontramos:
Substituindo pelos valores:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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