Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada, que envolve limites. Além disso, precisamos determinar quais são os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos lembrar que a derivada mede a taxa de variação da função em relação à variável
.
Passo 2
Vamos começar aplicando a definição de derivada. A derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando
se aproxima de zero da diferença entre
e
, tudo dividido por
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
. Substituindo
na função original:
Vamos expandir esse termo:
Passo 4
Agora, vamos subtrair
de
:
Passo 5
Dividimos essa diferença por
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de zero:
Passo 7
Então, a derivada de
é
.
Passo 8
Vamos determinar os domínios. A função original
é um polinômio, e polinômios são definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio de
é
.
A derivada
também é um polinômio e, assim, seu domínio é igualmente
.
Resposta
A derivada da função é
. Tanto a função
quanto sua derivada
têm domínio em todos os números reais, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função
em um certo ponto
. Diga qual é a função
e qual é o valor de
em cada caso.
Encontre
e
.
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Derive:
Derive: