Encontre a função derivada das seguintes funções, através da definição (utilizando limite). Depois, diga quais são os domínios da função e da derivada.
g(t) = 5t - 8t^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada dessa função usando a definição de derivada, que envolve limites. Além disso, precisamos determinar quais são os domínios da função original e da sua derivada. Para isso, vamos lembrar que a derivada mede a taxa de variação da função em relação à variável .

Passo 2

Vamos começar aplicando a definição de derivada. A derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando se aproxima de zero da diferença entre e , tudo dividido por .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular . Substituindo na função original:
Vamos expandir esse termo:

Passo 4

Agora, vamos subtrair de :

Passo 5

Dividimos essa diferença por :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de zero:

Passo 7

Então, a derivada de é .

Passo 8

Vamos determinar os domínios. A função original é um polinômio, e polinômios são definidos para todos os números reais. Portanto, o domínio de é .
A derivada também é um polinômio e, assim, seu domínio é igualmente .

Resposta

A derivada da função é . Tanto a função quanto sua derivada têm domínio em todos os números reais, ou seja, .

Exercícios relacionados

Cada limite a seguir representa a derivada de uma certa função f em um certo ponto a. Diga qual é a função f e qual é o valor de a em cada caso.
lim t 1 t^4+t-2t-1
Encontre y' e y''.
y = cos^2(x).
Derive:
f(x) = -5
Derive:
f(x) = x^2 + 5x - 4