Para cada n ≥ 1, seja f_n: R -> R dada por f_n(x) = e^(-n x) / n. Mostre que (f_n')_{n ≥ 1} converge pontualmente, mas não uniformemente, em [0,+infinito).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de funções definida por para cada . O exercício pede para mostrar que a sequência das derivadas converge ponto a ponto no intervalo , mas essa convergência não é uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas, convergência pontual e uniforme. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada função . Sabemos que . Aplicando a regra da derivada para funções exponenciais:
Então, temos que .

Passo 3

Agora, vamos investigar a convergência pontual da sequência . Isso significa que para cada valor fixo de , vamos ver o que acontece com quando vai para o infinito.
Para , quando aumenta, o termo se aproxima de zero, já que a exponencial negativa cresce em magnitude. Portanto,
Para :
Então, a sequência converge pontualmente para:

Passo 4

Agora, vamos analisar a convergência uniforme. A convergência uniforme exige que a diferença entre e o limite seja pequena de forma independente de no intervalo considerado.
Queremos ver se:
Sabemos que para , tende a zero, mas para , sempre. Isso significa que, independentemente de , no ponto , a diferença . Porém, para qualquer , a diferença tende a zero, mas a convergência não é uniforme porque a taxa de aproximação depende de . Não existe um único que funcione para todo simultaneamente.

Resposta

Então, mostramos que a sequência das derivadas converge ponto a ponto para a função definida por:
Entretanto, essa convergência não é uniforme no intervalo .

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