Para cada
, seja
dada por
. Mostre que
converge pontualmente, mas não uniformemente, em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de funções definida por
para cada
. O exercício pede para mostrar que a sequência das derivadas
converge ponto a ponto no intervalo
, mas essa convergência não é uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas, convergência pontual e uniforme. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada função
. Sabemos que
. Aplicando a regra da derivada para funções exponenciais:
Então, temos que
.
Passo 3
Agora, vamos investigar a convergência pontual da sequência
. Isso significa que para cada valor fixo de
, vamos ver o que acontece com
quando
vai para o infinito.
Para
, quando
aumenta, o termo
se aproxima de zero, já que a exponencial negativa cresce em magnitude. Portanto,
Para
:
Então, a sequência
converge pontualmente para:
Passo 4
Agora, vamos analisar a convergência uniforme. A convergência uniforme exige que a diferença entre
e o limite
seja pequena de forma independente de
no intervalo considerado.
Queremos ver se:
Sabemos que para
,
tende a zero, mas para
,
sempre. Isso significa que, independentemente de
, no ponto
, a diferença
. Porém, para qualquer
, a diferença tende a zero, mas a convergência não é uniforme porque a taxa de aproximação depende de
. Não existe um único
que funcione para todo
simultaneamente.
Resposta
Então, mostramos que a sequência das derivadas
converge ponto a ponto para a função
definida por:
Entretanto, essa convergência não é uniforme no intervalo
.