Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Precisamos mostrar que a sequência de funções converge pontualmente para algum limite quando tende ao infinito. Além disso, devemos determinar se essa convergência é uniforme no domínio . Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos de convergência pontual e convergência uniforme de sequências de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência pontual. Dizemos que uma sequência de funções converge pontualmente para uma função em um ponto se, para cada fixo, o limite existe.
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que, para qualquer número real , . Como tende a 0 quando tende ao infinito, podemos concluir que:
Portanto, a sequência converge pontualmente para a função nula em todo o domínio .
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa convergência é uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre e pode ser tornada menor que qualquer de forma independente de , ou seja:
Sabemos que para todo . Então:
Porém, para variando em , pode se tornar arbitrariamente grande à medida que aumenta. Isso significa que não podemos encontrar um suficientemente grande que faça para todo em .
Resposta
A sequência de funções converge pontualmente para a função nula em . No entanto, essa convergência não é uniforme no domínio .