Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta. f_n: ]0,+∞[ → R, f_n(x) = ln(x + 1/n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a sequência de funções converge pontualmente no domínio e determinar se essa convergência é uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa convergência pontual e convergência uniforme de funções, além de usar propriedades do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a convergência pontual. Dizemos que converge pontualmente para uma função em um ponto se, para cada , o limite de quando tende ao infinito é igual a .
Vamos calcular esse limite para :
Como tende a 0 quando tende ao infinito, temos:
Então, para cada , converge pontualmente para .

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre e fica pequena de forma uniforme para todos os no domínio, à medida que aumenta.
Matematicamente, isso significa que queremos que:
Vamos calcular :
Sabemos que o logaritmo cresce sem limite quando seu argumento tende ao infinito. Se fixarmos muito próximo de 0, fica muito grande, fazendo tender a . Isso significa que a supremo dessa diferença não está limitado e, portanto, não tende a zero.

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para no domínio . Porém, essa convergência não é uniforme nesse domínio.

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