Mostre que as seguintes sequências de funções convergem pontualmente e determine, em cada caso, se a convergência é uniforme no domínio dado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a sequência de funções converge pontualmente e verificar se essa convergência é uniforme no domínio . Para isso, vamos precisar entender o que significa convergência pontual e convergência uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência pontual. Dizemos que a sequência converge pontualmente para uma função se, para cada valor específico de , o limite de quando tende ao infinito for igual a .
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito para um fixo:
Sabemos que, para qualquer número , tende a 0 quando cresce sem limite. Portanto:
Isso significa que a sequência converge pontualmente para a função .
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa convergência é uniforme. A convergência uniforme significa que a diferença entre e pode ser tornada pequena de forma independente de , ou seja, existe um tal que para todo e para todo :
onde é um número positivo pequeno que definimos.
Passo 5
Vamos analisar a diferença . Queremos que isso seja menor que para todo . No entanto, como pode ser qualquer número real, pode ser muito grande, fazendo com que não seja necessariamente pequeno, a menos que seja proporcionalmente grande em relação a .
Passo 6
Isso significa que não conseguimos encontrar um único que funcione para todos os , já que pode crescer indefinidamente. Portanto, a convergência não é uniforme no domínio .
Resposta
A sequência de funções converge pontualmente para a função em , mas essa convergência não é uniforme no domínio dado.