Calcule as seguintes integrais duplas: (j)
onde
é a região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla da função
sobre a região
que está entre os círculos
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos e funções que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Os círculos
e
têm centros na origem e raios 1 e 2, respectivamente. Então,
é uma espécie de “anel” ou “anel de anéis” com raio interno 1 e raio externo 2.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
-
-
-
- O elemento de área
vira
Isso simplifica a nossa integral, principalmente porque a função que estamos integrando depende apenas de
, que é
em coordenadas polares.
Passo 4
Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. A região
corresponde a
variando de 1 a 2 e
variando de 0 a
. Então, a integral fica assim:
Passo 5
Vamos simplificar a função dentro da integral. Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Temos:
Para resolver isso, podemos usar substituição. Seja
, então
. Mas outra forma eficiente é lembrar que a integral de
pode ser resolvida por partes.
Usando integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Então:
Agora, multiplicando por 2:
Passo 7
Vamos avaliar a integral de
de 1 a 2:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, voltamos à integral em
:
Distribuindo
:
Resposta
A integral dupla vale
.