Calcule as seguintes integrais duplas: (j) integral duplaD ln (x^2+y^2) d x d y onde D é a região limitada pelas curvas x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla da função ln(x^2 + y^2) sobre a região D que está entre os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos e funções que dependem de x^2 + y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. Os círculos x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 têm centros na origem e raios 1 e 2, respectivamente. Então, D é uma espécie de “anel” ou “anel de anéis” com raio interno 1 e raio externo 2.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • x^2 + y^2 = r^2
  • O elemento de área dx,dy vira r,dr,dtheta
Isso simplifica a nossa integral, principalmente porque a função que estamos integrando depende apenas de x^2 + y^2, que é r^2 em coordenadas polares.

Passo 4

Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. A região D corresponde a r variando de 1 a 2 e theta variando de 0 a 2pi. Então, a integral fica assim:
integral duplaD ln(x^2 + y^2),dx,dy = integral0^2pi integral1^2 ln(r^2) cdot r,dr,dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a função dentro da integral. Sabemos que ln(r^2) = 2ln r. Então, a integral fica:
integral0^2pi integral1^2 2ln r cdot r,dr,dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r. Temos:
integral1^2 2ln r cdot r,dr
Para resolver isso, podemos usar substituição. Seja u = ln r, então du = 1r dr. Mas outra forma eficiente é lembrar que a integral de r ln r pode ser resolvida por partes.
Usando integração por partes, onde:
  • u = ln r du = 1r dr
  • dv = r,dr v = r^22
Então:
integral r ln r,dr = r^22 ln r - integral r^22 cdot 1r dr = r^22 ln r - 12 integral r,dr = r^22 ln r - r^24 + C
Agora, multiplicando por 2:
2 integral r ln r,dr = r^2 ln r - r^22 + C

Passo 7

Vamos avaliar a integral de r de 1 a 2:
[ r^2 ln r - r^22 ]1^2
Calculando para r = 2:
2^2 ln 2 - 2^22 = 4 ln 2 - 2
E para r = 1:
1^2 ln 1 - 1^22 = 0 - 12 = -12
Subtraindo:
(4 ln 2 - 2) - (-12) = 4 ln 2 - 2 + 12 = 4 ln 2 - 32

Passo 8

Agora, voltamos à integral em theta:
integral0^2pi (4 ln 2 - 32) dtheta = (4 ln 2 - 32) integral0^2pi dtheta = (4 ln 2 - 32) cdot 2pi
Distribuindo 2pi:
8pi ln 2 - 3pi

Resposta

A integral dupla vale 8pi ln 2 - 3pi.

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