Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2)
.
c. (EF-2013.2)
Passo 1
Então, você me deu a função
e pediu para a gente analisar ou resolver algo relacionada a ela. Vamos trabalhar com conceitos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver ou analisar essa função, vamos precisar entender o domínio, os pontos de descontinuidade, assimptotas e o comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe.
A função é
. Vamos igualar o denominador a zero para encontrar os valores que precisamos excluir do domínio:
Resolvendo essa equação:
Portanto,
e
são valores que fazem o denominador zero, então eles não estão no domínio.
Domínio: Todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assimptotas da função. Existem dois tipos principais: assimptotas verticais e assimptotas horizontais (ou oblíquas).
Assimptotas Verticais ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero nesses pontos). Já encontramos que o denominador é zero em
e
, então estas são as nossas assimptotas verticais.
Para as assimptotas Horizontais, observamos o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Olhamos para os graus do polinômio no numerador e no denominador:
- Grau do numerador: 1 (porque
) - Grau do denominador: 2 (porque
)
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a assimptota horizontal é
.
Assimptotas:
- Verticais:
e - Horizontal:
Passo 4
Vamos agora analisar o comportamento do gráfico da função.
- Para
: Escolhemos um valor, digamos :
Isso mostra que a função está positiva nessa região.
- Para
: Escolhemos :
Aqui, a função �� zero.
- Para
: Escolhemos :
A função é negativa nessa região.
Resumo do comportamento:
- A função atravessa o eixo
em . - Tem assimptotas verticais em
e . - Aproxima-se de
à medida que vai para .
Resposta
A função
está definida para todos os
exceto
e
. Possui assimptotas verticais em
e
, e uma assimptota horizontal em
. O gráfico da função cruza o eixo
em
, é positivo para
, negativo para
e igual a zero quando
.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
a. .
a.
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
b. .
b.
Para cada c \in \mathbb{R}, definimos
. Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função possui pontos de máximo e de mínimo?
a. Para que valores de c a função
Calcule os seguintes limites:
i. .
i.