Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2) .

Passo 1

Então, você me deu a função e pediu para a gente analisar ou resolver algo relacionada a ela. Vamos trabalhar com conceitos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver ou analisar essa função, vamos precisar entender o domínio, os pontos de descontinuidade, assimptotas e o comportamento geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe.
A função é . Vamos igualar o denominador a zero para encontrar os valores que precisamos excluir do domínio:
Resolvendo essa equação:
Portanto, e são valores que fazem o denominador zero, então eles não estão no domínio.
Domínio: Todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assimptotas da função. Existem dois tipos principais: assimptotas verticais e assimptotas horizontais (ou oblíquas).
Assimptotas Verticais ocorrem onde o denominador é zero (e o numerador não é zero nesses pontos). Já encontramos que o denominador é zero em e , então estas são as nossas assimptotas verticais.
Para as assimptotas Horizontais, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Olhamos para os graus do polinômio no numerador e no denominador:
  • Grau do numerador: 1 (porque )
  • Grau do denominador: 2 (porque )
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a assimptota horizontal é .
Assimptotas:
  • Verticais: e
  • Horizontal:

Passo 4

Vamos agora analisar o comportamento do gráfico da função.
  • Para : Escolhemos um valor, digamos :
Isso mostra que a função está positiva nessa região.
  • Para : Escolhemos :
Aqui, a função �� zero.
  • Para : Escolhemos :
A função é negativa nessa região.
Resumo do comportamento:
  • A função atravessa o eixo em .
  • Tem assimptotas verticais em e .
  • Aproxima-se de à medida que vai para .

Resposta

A função está definida para todos os exceto e . Possui assimptotas verticais em e , e uma assimptota horizontal em . O gráfico da função cruza o eixo em , é positivo para , negativo para e igual a zero quando .

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
a. .
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
b. .
Para cada c \in \mathbb{R}, definimos . Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função possui pontos de máximo e de mínimo?
Calcule os seguintes limites:
i. .