Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
a.
.
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma função
e quer entender mais sobre ela. Vamos explorar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir informações importantes sobre essa função, como onde ela aumenta ou diminui e se tem máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda quando
muda. Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que é usada quando temos duas funções multiplicadas.
Passo 3
A regra do produto diz que se você tem
, então a derivada
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos a derivada, queremos saber onde a função está aumentando ou diminuindo. Para isso, analisamos onde
é positiva ou negativa.
Queremos encontrar quando
ou
.
Passo 7
Resolvendo
:
Isso acontece quando:
Portanto, a função está aumentando quando
.
Passo 8
Resolvendo
:
Isso acontece quando:
Portanto, a função está diminuindo quando
.
Passo 9
Vamos ver se há algum ponto onde a derivada é zero, pois isso pode indicar um ponto de máximo ou mínimo.
Então, em
, a derivada é zero.
Passo 10
Para confirmar se
é um ponto de mínimo, observamos o comportamento da derivada antes e depois desse ponto:
- Para
, (função decrescente). - Para
, (função crescente).
Isso indica que
é um ponto de mínimo.
Resposta
A função
tem um ponto de mínimo em
. Ela está diminuindo para valores de
menores que
e aumentando para valores maiores que
.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
b. .
b.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
a. .
a.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2) .
c. (EF-2013.2)
Para cada c \in \mathbb{R}, definimos
. Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função possui pontos de máximo e de mínimo?
a. Para que valores de c a função