Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
a. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma função e quer entender mais sobre ela. Vamos explorar conceitos de cálculo, como derivadas, para descobrir informações importantes sobre essa função, como onde ela aumenta ou diminui e se tem máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda quando muda. Para derivar essa função, usamos a regra do produto, que é usada quando temos duas funções multiplicadas.

Passo 3

A regra do produto diz que se você tem , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos a derivada, queremos saber onde a função está aumentando ou diminuindo. Para isso, analisamos onde é positiva ou negativa.
Queremos encontrar quando ou .

Passo 7

Resolvendo :
Isso acontece quando:
Portanto, a função está aumentando quando .

Passo 8

Resolvendo :
Isso acontece quando:
Portanto, a função está diminuindo quando .

Passo 9

Vamos ver se há algum ponto onde a derivada é zero, pois isso pode indicar um ponto de máximo ou mínimo.
Então, em , a derivada é zero.

Passo 10

Para confirmar se é um ponto de mínimo, observamos o comportamento da derivada antes e depois desse ponto:
  • Para , (função decrescente).
  • Para , (função crescente).
Isso indica que é um ponto de mínimo.

Resposta

A função tem um ponto de mínimo em . Ela está diminuindo para valores de menores que e aumentando para valores maiores que .

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
b. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g :
a. .
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
c. (EF-2013.2) .
Para cada c \in \mathbb{R}, definimos . Chamamos isto de uma família de funções a um parâmetro c. Responda as seguintes perguntas:
a. Para que valores de c a função possui pontos de máximo e de mínimo?