Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico da matriz e calcular suas raízes, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é um escalar e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar esse determinante.
Passo 3
Vamos escrever a matriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Substituindo de volta:
Passo 6
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, distribuímos :
Passo 8
Vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 9
Então, o polinômio característico é:
Podemos fatorar um :
Passo 10
Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio :
Então, temos:
Para resolver a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara: