Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz A.
(d) A=(rrr4 & 2 & 3 -1 & 1 & 3 2 & 4 & 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico da matriz e calcular suas raízes, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é um escalar e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar esse determinante.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A - lambda I = 4 - lambda & 2 & 3 -1 & 1 - lambda & 3 2 & 4 & 9 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(1 - lambda)(9 - lambda) - 3 cdot 4] - 2[(-1)(9 - lambda) - 3 cdot 2] + 3[(-1) cdot 4 - (1 - lambda) cdot 2]

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
  1. det(A - lambda I) = (4 - lambda)(lambda^2 - 10lambda + 9 - 12) - 2(-9 + lambda - 6) + 3(-4 - 2 + 2lambda)
Substituindo de volta:

Passo 6

Simplificando mais:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(lambda^2 - 10lambda - 3) - 2(-15 + lambda) + 3(-6 + 2lambda)
= (4 - lambda)(lambda^2 - 10lambda - 3) + 30 - 2lambda - 18 + 6lambda
= (4 - lambda)(lambda^2 - 10lambda - 3) + 12 + 4lambda

Passo 7

Agora, distribuímos = 4(lambda^2 - 10lambda - 3) - lambda(lambda^2 - 10lambda - 3) + 12 + 4lambda :
= 4lambda^2 - 40lambda - 12 - lambda^3 + 10lambda^2 + 3lambda + 12 + 4lambda

Passo 8

Vamos juntar os termos semelhantes:
- lambda^3 + (4lambda^2 + 10lambda^2) + (-40lambda + 3lambda + 4lambda) + (-12 + 12)
= -lambda^3 + 14lambda^2 - 33lambda

Passo 9

Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 14lambda^2 - 33lambda
Podemos fatorar um p(lambda) = -lambda(lambda^2 - 14lambda + 33) :

Passo 10

Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio -lambda(lambda^2 - 14lambda + 33) = 0 :
lambda = 14 pm raiz14^2 - 4 cdot 1 cdot 332 = 14 pm raiz196 - 1322 = 14 pm raiz642 = 14 pm 82
Então, temos:
  1. lambda1 = 14 + 82 = 11 e lambda2 = 14 - 82 = 3
Para resolver a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então:

Resposta

Os autovalores da matriz são , e .

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