Para cada matriz abaixo determine o seu polinômio característico e calcule as raízes deste polinômio. Estas raízes são chamadas de autovalores da matriz .
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre matrizes! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico da matriz e calcular suas raízes, que são os autovalores da matriz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre determinantes e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é um escalar e é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Nosso objetivo é encontrar esse determinante.

Passo 3

Vamos escrever a matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Substituindo de volta:

Passo 6

Simplificando mais:

Passo 7

Agora, distribuímos :

Passo 8

Vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 9

Então, o polinômio característico é:
Podemos fatorar um :

Passo 10

Agora, vamos encontrar as raízes do polinômio :
Então, temos:
Para resolver a segunda equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então:

Resposta

Os autovalores da matriz são , e .

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(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
.
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e