Dados U, W subespaços do espaço vetorial V determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de U.
(ii) uma base e a dimensão de W.
(iii) uma base e a dimensão de U+W.
(iv) uma base e a dimensão de U cap W.
U=(x, y, z) in R^3 / x+y+z=0, W=(x, y, 0) / x, y in R, V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços e dentro de um espaço vetorial . Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais, base e dimensão. Basicamente, vamos identificar vetores que formam uma base para cada subespaço e contar quantos vetores tem cada base para achar a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma base e a dimensão de z = -x - y , que é definido por (x, y, -x - y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1) .
Para achar uma base, precisamos encontrar vetores que satisfaçam a equação . Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, resolvendo para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Os vetores e são lineares e geram todo o subespaço . Portanto, eles formam uma base para , e como temos 2 vetores na base, a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora, vamos para (x, y, 0) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) , que é definido por .
Aqui, os vetores têm a terceira coordenada igual a zero. Podemos escrever qualquer vetor em como:
Os vetores e são lineares e geram todo o subespaço . Então, eles formam uma base para , e a dimensão de é também 2.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma base e a dimensão de (1, 0, -1), (0, 1, -1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) . O subespaço 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0 & 0 é formado por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos juntar as bases de e :
Para encontrar uma base para , precisamos remover vetores que são combinações lineares dos outros. Observando, vemos que , mas na verdade, não há combinações diretas aqui que simplifiquem facilmente. Então, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir:
Depois de realizar as operações de linha, encontramos que apenas três vetores são necessários para gerar . Portanto, uma base para pode ser , e a dimensão é 3.

Passo 5

Por último, vamos encontrar uma base e a dimensão de x + y + z = 0 z = 0 implies x + y = 0 , que é o conjunto de vetores que estão tanto em quanto em .
Um vetor em deve satisfazer e ter . Então, temos:
Isso significa que . Então, qualquer vetor em é da forma .
Portanto, a base para é , e a dimensão é 1.

Resposta

(i) Base de :
Dimensão de : 2
(ii) Base de :
Dimensão de : 2
(iii) Base de :
Dimensão de : 3
(iv) Base de :
Dimensão de : 1

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