Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços e dentro de um espaço vetorial . Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais, base e dimensão. Basicamente, vamos identificar vetores que formam uma base para cada subespaço e contar quantos vetores tem cada base para achar a dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma base e a dimensão de , que é definido por .
Para achar uma base, precisamos encontrar vetores que satisfaçam a equação . Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, resolvendo para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Os vetores e são lineares e geram todo o subespaço . Portanto, eles formam uma base para , e como temos 2 vetores na base, a dimensão de é 2.
Passo 3
Agora, vamos para , que é definido por .
Aqui, os vetores têm a terceira coordenada igual a zero. Podemos escrever qualquer vetor em como:
Os vetores e são lineares e geram todo o subespaço . Então, eles formam uma base para , e a dimensão de é também 2.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma base e a dimensão de . O subespaço é formado por todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos juntar as bases de e :
Para encontrar uma base para , precisamos remover vetores que são combinações lineares dos outros. Observando, vemos que , mas na verdade, não há combinações diretas aqui que simplifiquem facilmente. Então, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir:
Depois de realizar as operações de linha, encontramos que apenas três vetores são necessários para gerar . Portanto, uma base para pode ser , e a dimensão é 3.
Passo 5
Por último, vamos encontrar uma base e a dimensão de , que é o conjunto de vetores que estão tanto em quanto em .
Um vetor em deve satisfazer e ter . Então, temos:
Isso significa que . Então, qualquer vetor em é da forma .